رياضيات في دقيقة: الأعداد المثلثية

العدد المثلثي؛ هو عددٌ يمكن تمثيله بنمطِ نقاطٍ مرتبةٍ ضمن مثلث متساوي الأضلاع؛ وفق عدد متساوٍ من النقاط في كل ضلع.

مثال:

العدد المثلثي الأول هو الــ 1، الثاني 3، الثالث 6، الرابع 10، والخامس 15، وهكذا دواليك…

يمكننا ملاحظة أنَّ باستطاعتنا إنشاء كل مثلث من المثلث السابق له مع إضافة صفٍ من النقاط إلى القاعدة؛ التي اُضيف لها نقطة واحدة مقارنة بالقاعدة التي تسبقها. مما يعني أن n العدد المثلثي T_{n} يساوي:

T_{n} = 1+2+3+...+n

هناك أيضًا طريقة أخرى لحساب n العدد المثلثي. خُـذ نسختين من النمط النقطي لعدد مثلثي n ورتِّبهما بحيث يشكلان نمطا نقطيا مستطيلا.

لهذا النمط المستطيل n نقطة في الضلع الأقصر، و n+1 في الضلع الأطول. مما يعني أن للنمط المستطيل ما مجموعُه n(n+1) نقطة. وبما أن النمط النقطي المثلثي الأصلي يمثل بالضبط نصف النمط المستطيل، فإن n العدد المثلثي T_{n} يساوي:

T_{n}=\frac{n(n+1)}{2}

وبهذا فقد أثبتنا صيغة جمع n من الأعداد الطبيعية، كالآتي:

1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}

للأعداد المثلثية الكثير من المزايا. فمثلا، مجموع عددين مثلثيين متتاليين هو عدد مُربع. يمكنك التحقق من هذا بترتيب نمطين نقطيين لعددين مثلثيين n و (n+1) لتشكيل مربع له (n+1) نقطة في كل ضلع:

يمكنك التحقق من هذا أيضا باستخدام  صيغتي عددين مثلثيين متتاليين T_{n} و T_{n+1} كالآتي:

T_{n}+T_{n+1}=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n+1)(n+2)}{2}=\frac{(n+1)(2n+2)}{2}=(n+1)^{2}

علاوة على ذلك، فإن الأعداد المثلثية المتناوبة (1، 6، 15، …) هي أعداد مُسدسية أيضًا (أعداد مكونة من نمط نقطي سداسي) وكل عدد مثالي زوجي هو عدد مثلثي.

تظهر الأعداد المثلثية في حياتنا اليومية أيضًا. فمثلا، يتطلب إنشاء شبكة مكونة من n من أجهزة الكمبيوتر التي يتم فيها توصيل كل جهاز كمبيوتر بآخر ما مقداره T_{n-1} من التوصيلات.


المقال الأصلي

Maths in a minute: Triangular numbers

نُشِر بتاريخ: November 24, 2020

——————

ترجمة: مديحة حوري.

هذا المنشور نشر في رياضيات في دقيقة وكلماته الدلالية , , , , . حفظ الرابط الثابت.

اترك تعليقًا

إملأ الحقول أدناه بالمعلومات المناسبة أو إضغط على إحدى الأيقونات لتسجيل الدخول:

شعار ووردبريس.كوم

أنت تعلق بإستخدام حساب WordPress.com. تسجيل خروج   /  تغيير )

Google photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Google. تسجيل خروج   /  تغيير )

صورة تويتر

أنت تعلق بإستخدام حساب Twitter. تسجيل خروج   /  تغيير )

Facebook photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Facebook. تسجيل خروج   /  تغيير )

Connecting to %s