رياضيات في دقيقة: تمثيل الزمر

المقالة حول مفهوم كائنات مجردة تُدعى الزُمر. في حال كنت تجهل معناها، فما عليك سوى الاطلاع على هذا الشرح المختصر في مقالة الرياضيات في ثلاث دقائق: الزُمَر.

أشرنا في مقالة الزمر السابقة (المُشار إليها أعلاه) إلى مثالين لزمرة. الأول مأخوذٌ من نظام التوقيت ذو تنسيق 12 ساعة. وهنا تتكون الزمرة من الأرقام 1 إلى 12 مع عملية إضافة مودولو 12، أي عند إتمام مدار الساعة مرة واحدة، وعوضا عن الاستمرار في العدِّ 13، 14، 15، الخ، فسنُعيد العدَّ من البداية مرة اخرى، أي 1، 2، 3، الخ.

المثال الثاني مأخوذٌ من مضلع-12 منتظم (شكل في المستوى ذو 12 ضلعا لها نفس الطول، و12 زاوية داخلية بنفس القياس- الصورة على اليمين-). التناوب أو الدوران حول مركز المضلع-12 المنتظم عبر زوايا 1/12 أو 2/12 أو 3/12 من الدائرة، الخ، حتى الدوران عبر دائرة كاملة، يُحافظ على المضلع -12 دون تغيير لذا فهي تماثلات للمضلع -12. تشكل هذه التماثلات التناوبية أيضا زمرة. عملية الجمع بين عنصرين من عناصر الزمرة هنا هي ببساطة اجراء تناوب واحد تلو الاخر.

ليس من الصعب ملاحظة أن المثالين السابقين متشابهين تماما. كلاهما يتكون من اثني عشر عنصرا وبالامكان إقرانُ عنصرٍ واحدٍ من زمرة مع عنصر واحد بالضبط من الزمرة الأخرى والعكس صحيح: الرقم 1 يمكن أن يقترن بــ 1/12، الرقم 2 بــ 2/12، وهكذا.

تُشكل مجموعة تماثلات كائن ما؛ زمرة. مصدر الصورة

هذه التقابلات الفردية بين عناصر الزمرتين تحترم العمليات على الزمر. فمثلا، جمع الرقمين 2 و 5 يعطيك 7 وجمع 2/12 و 5/12 ينتج عنه 7/12. أي أن الزمرتين تميلا الى أن تكونا متساوية الشكل.

قد يُصبح الحديث فوضويا أو مُعقدا نوعا ما؛ عند دراسة الزمر على أنها كائنات مجردة (أي لا ترتبط بمثال معين مثل مدار الساعة أو المضلع-12) لذا سيكون من الجيد الاتفاق على وصفها باستخدام نوع واحد فقط من المقادير الرياضية. ولحسن الحظ فقد اتضح أنه يمكن وصفها جميعها باستخدام المصفوفات.

كمثال على ذلك، اذا وضعت المضلع -12 في نظام إحداثيات يقع مركزه في النقطة (0,0) فيمكن كتابة التناوب في اتجاه عقارب الساعة خلال 1/12 من الدائرة كمصفوفة:

\[ \left( \begin{array}{cc}cos(\pi /6) & sin(\pi /6) \\ -sin(\pi /6) & cos(\pi /6)\end{array} \right), \]

حيث تقاس الزوايا بالراديان. وبالمثل، يمكن كتابة كل عنصر آخر في الزمرة كمصفوفة. يمكن تمثيل الزُمر متساوية الشكل بنفس مجموعة المصفوفات.

تدور نظرية التمثيل حول دراسة الزمر عن طريق تمثيلها كمجموعات من المصفوفات. لا يمنحنا هذا لغة موحدة للحديث عن الزمر فحسب، بل يُسهّل أيضا طريقة فهمنا لها، ذلك أن المصفوفات مقادير يُتقنها علماء الرياضيات جيدا.


المقال الأصلي

Maths in a minute: Representing groups

نُشِر بتاريخ: February 1, 2021

——————

ترجمة: مديحة حوري.

هذا المنشور نشر في رياضيات في دقيقة وكلماته الدلالية , , , , , . حفظ الرابط الثابت.

اترك تعليقًا

إملأ الحقول أدناه بالمعلومات المناسبة أو إضغط على إحدى الأيقونات لتسجيل الدخول:

شعار ووردبريس.كوم

أنت تعلق بإستخدام حساب WordPress.com. تسجيل خروج   /  تغيير )

Google photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Google. تسجيل خروج   /  تغيير )

صورة تويتر

أنت تعلق بإستخدام حساب Twitter. تسجيل خروج   /  تغيير )

Facebook photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Facebook. تسجيل خروج   /  تغيير )

Connecting to %s