رياضيات في دقيقة: زمر دائرية

المقالة حول مفهوم كائنات مجردة تُدعى الزُمر. في حال كنت تجهلها، فما عليك سوى الاطلاع على شرحٍ مختصرٍ لها في مقالة الرياضيات في ثلاث دقائق: الزُمَر.

بعض المقادير مُستديرة. مثل مدار الساعة: إذا بدأنا من الساعة 12 وأضفنا ساعة واحدة فسنحصل على 1، بإضافة ساعة أخرى سنحصل على 2، وهكذا دواليك، إلى أن نعود من حيث بدأنا بعد اثني عشر إضافة.

يمكننا أيضا أن نتصور الأمر وكأنه تدويرٌ لمُجسم ساعة عبر اثني عشر جزءً من الدائرة: تناوبٌ واحد ينتقل من 12 إلى 1، تناوبٌ آخر ينتقل من 1 إلى 2، وهكذا دواليك، إلى أن نعود من حيث بدأنا بعد اثني عشر تناوب.

لدينا مجموعة من اثني عشر مقداراً في الحالتين: إثني عشر رقما، أو إثني عشر مُناوبة (التناوب عبر \frac{1}{12} من الدائرة، \frac{2}{12} من الدائرة، \frac{3}{12} من الدائرة، وهكذا). كما لدينا طريقةٌ لدمج مقدارٍ بآخر للحصول على ثالثٍ: جمع رقمين، أو إتباعُ تناوبٍ بآخر. مع طريقة مُميزة للغاية تُتيح لنا توليد جميع المقادير الأخرى: يمكننا الحصول على أي رقم من الأرقام الإثني عشر من الـ 1 عن طريق تكرار إضافة رقم 1، وبالمثل، فإن تكرار التناوب خلال الإثني عشر جزءً من الدائرة يُعطينا جميع المُتناوبات الأخرى في مجموعتنا.

تعطي الساعة مثالًا جيدًا عن زمرة دائرية

تُدعى زمرة؛ كل مجموعة من العناصر، مزودة بعملية ثنائية تجمع عنصرين لتعطينا عنصرا ثالثا، وفق قواعد معينة. (يمكنك معرفة المزيد عن هذه القواعد من هنا) وإذا اشتملت زمرة على عنصر خاص يمكنه (من خلال التطبيق المتكرر للعملية الثنائية) توليد جميع العناصر الأخرى في الزمرة، فإن الزمرة تدعى زمرة دائرية.

تتواجد زمر دائرية وفق جميع الأحجام. فعلى سبيل المثال، يؤدي التناوب عبر نصف دائرة (180 درجة) إلى توليد زمرة دائرية من الحجم 2: ما عليك إلا القيام بالتناوب مرتين للعودة من حيث بدأت. وبالمثل، فإن التناوب عبر \frac{1}{1,000,000}  من الدائرة يُولِّد زمرة دائرية من الحجم 1,000,000. بشكل عام، فإن التناوب عبر \frac{1}{n} من الدائرة، حيث n هو أيُ عدد صحيح موجب، يولد زمرة دائرية من الرتبة n

هل تتواجد زمرٌ لا نهائية أيضا؟ يمكننا محاولة إنشاء واحدة بأخذ الرقم 1 وبدلا من تصَّوره ليكون جزءً من مدار ساعة مُستديرة، سنتصوره ليكون الرقم 1 على خط الأعداد. وتكرار إضافة الـ 1 للحصول على عدد لا نهائي من الأعداد الصحيحة. إذن هل تُشكِّل الأعداد الصحيحة الموجبة زُمرة لا نهائية تمَّ توليدها بواسطة الـ 1 ؟

الجواب لا. هذا لأن الأعداد الصحيحة الموجبة لا تُشكّل زمرةً من الأساس. فحسب تعريف الزمرة، فإن الزمرة يجب أن تحتوي على عنصر مُحايد، وأن يتوفر لكل عنصر آخر عنصرا مُعاكِسا. بالنسبة للأعداد الصحيحة، العنصر المُحايد هو الـ 0، ومُعاكس كل عنصر آخر هو رقمه السالب. لذا؛ للحصول على زمرة؛ لا بُد من تضمينها – إضافةً إلى الأعداد الصحيحة الموجبة – الـ 0 والأعداد الصحيحة السالبة.

وبالتالي فإن الأعداد الصحيحة هي زُمرةٌ لا نهائية تمَّ توليدها بواسطة الــ 1 (بمساعدة مُعاكسه 1-). بدءً من 1 و (1-) يمكننا الحصول على أي عدد صحيح آخر عن طريق تكرار إضافة الــ 1 أو (1-).

هذا التعريف العام هو التعريف المُعتمد لزمرة دائرية: هي بُنية مُجردة يُمكن إنشاؤها من عنصر مُفرد ومُعاكسه باستخدام عملية ثنائية (مثل الإضافة أو تركيب التناوب). لاحِظ أن في الزمر المحدودة؛ يتطابق التعريفان؛ لأن مُعاكس عنصر التوليد يمكن إنشاؤه من العنصر المُولِّد في حد ذاته. فمثلا؛ بالنسبة للـ 12 رقما في مدار الساعة، فإن العنصر المُحايد هو 12: إذا أضفنا 12 إلى أي رقم في هذه الزمرة فسيظل الرقم دون تغيير. مُعاكس 1 هو 11 لأن 1 + 11 = 12. ونظرًا لأنه يمكننا الحصول على الرقم 1 إلى 11 بتكرار إضافة الـ 1 فهذا يعني أن 1 يُولِّد مُعاكسه وبالتالي فهو كافٍ لإعطائنا الزمرة كاملة.


المقال الأصلي

Maths in a minute: Cyclic groups

نُشِر بتاريخ: February 1, 2021

——————

ترجمة: مديحة حوري.

هذا المنشور نشر في رياضيات في دقيقة وكلماته الدلالية , , , , . حفظ الرابط الثابت.

اترك تعليقًا

إملأ الحقول أدناه بالمعلومات المناسبة أو إضغط على إحدى الأيقونات لتسجيل الدخول:

شعار ووردبريس.كوم

أنت تعلق بإستخدام حساب WordPress.com. تسجيل خروج   /  تغيير )

Google photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Google. تسجيل خروج   /  تغيير )

صورة تويتر

أنت تعلق بإستخدام حساب Twitter. تسجيل خروج   /  تغيير )

Facebook photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Facebook. تسجيل خروج   /  تغيير )

Connecting to %s