رياضيات في دقيقة: المتتالية اللوجستية

تُشتهر المتتالية اللوجستية لسببين: أنها تمنحنا طريقة للتنبؤ بكيفية نمو أو تقلص مُجتمع حيوانات ما عبر الزمن، كما تُـبيّن لنا سحر ظاهرة الفوضى الرياضية.

كم عدد هذه الأسماك الذي تتوقع الحصول عليه بعد شهر؟

تخيل أن لديك حوضا مائيا كبيرا بما يكفي ليتسّع لـ 100 سمكة جوبي، تلك الأسماك الصغيرة، الناعمة، الملونة والمُحِبة للتكاثر. والسؤال هو، كم عدد أسماك الجوبي الذي تتوقع الحصول عليه بعد شهر؟ 

سيعتمد الجواب، جزئيا، على عدد أسماك الجوبي الذي علينا البدءُ به. إذا كان العدد أقل من السعة القصوى (100 سمكة جوبي) بكثير، فمن المُرجح أن يتزايد العدد بعد شهر. نظرا لتوفر الغذاء والمساحة الكافية لجميع الأسماك. أما إذا كان العدد قريبا جدا من السعة القصوى، بحيث لا يتوفر للجميع ما يكفي من الطعام والمساحة، فمن المرجح أن يتناقص عدد الأسماك.

تأخذ المتتالية اللوجستية في عين الاعتبار فكرة أن النمو يعتمد على عدد الأسماك الذي علينا البدءُ به. لتكن x نسبة السعة القصوى لحوض الأسماك. ومنه، فإن x = \frac{1}{2} تعني في مثالنا وُجود 50 سمكة جوبي، و x = \frac{1}{4} تعني وُجود 25 جوبي، أما x = 0 فهي تعني ألا وجود للجوبي في الحوض، و x =1 فتعني السعة القصوى، أي وُجود 100 جوبي في الحوض.

وبالتالي فإن المتتالية اللوجستية تُشير إلى أن حجم المُجتمع (مُجتمع الأسماك) بعد شهر (كنسبة من السعة القصوى للحوض المائي) سيصبح:

rx(1-x)

يُشير r إلى مُعدل نمو المُجتمع، والذي يعتمد على عناصر مثل عدد مواليد الجوبي في الشهر وعدد الوفيات. (يٌمكنك معرفة المزيد عن هذه الصيغة من هــنــا)

كمثال على ذلك، إذا كان معدل النمو r = 0 ونسبة السعة القصوى لهذا الشهر x = 0.7 فإن المتتالية اللوجستية تُشير إلى أن النسبة بعد شهر ستصبح:

4\times 0.7(1-0.7) = 4\times 0.7\times 0.3 = 0.84

وبالتالي إذا كانت السعة القصوى 100 سمكة جوبي، فسيصبح العدد 84 جوبي بعد شهر.

لاحظ أنه؛ وعلى ضوء الصيغة أعلاه؛ فإنه يمكننا تقدير حجم مُجتمع الجوبي بعد شهر، وفي المستقبل أيضا. يمنحنا تطبيق الصيغة على نسبة أسماك الجوبي الحالية x نسبتها للشهر المُقبل، ويمنحنا تطبيق الصيغة مرة أخرى على تلك النسبة الجديدة، النسبة للشهرين المُقبلين. ثم تطبيقها مرة أخرى، النسبة للثلاثة أشهر المُقبلة، وهكذا دواليك.

على سبيل المثال، افترض أن معدل النمو r = 4 وأننا بدأنا بنسبة x = 0.7 من السعة القصوى. يُوضح الرسم البياني أدناه كيفية تغيُّـر حجم مُجتمع الأسماك، وفقا للصيغة اللوجستية، خلال الأشهر الخمسة الأولى. لاحظ أنّه في الشهر 3، عندما يصل حجم مُجتمع الجوبي إلى ما يُقاربُ السعة القصوى، فإن النسبة تنخفض إلى ما يُقارب الصفر في الشهر التالي. يتسبب الاكتظاظ في خسائر فادحة.

تنبؤات نسبة السعة القصوى على (المحور الرأسي) لأول 5 أشهر (المحور الأفقي) بالنسبة لـ r = 4 والنسبة الأولية x = 0.7.

نظريا، يمكننا الاستمرار على هذا المنوال، لتقدير حجم مُجتمع الأسماك في المستقبل البعيد جدا باستخدام المتتالية اللوجستية. ينطوي ذلك على الكثير من الحسابات، لذا فإن السؤال هو: إذا كان بإمكاننا استخلاص شيء أعم، دون الخوض في التفاصيل ؟

الإجابة هي” يُمكننا أحيانا “، يتوقف كل ذلك على قيمة معدل النمو r فقد اتضح أنه إذا كان r أصغر من 1، فإن معدل النمو أقل بكثير من أن يُحافظ على بقاء مُجتمع الجوبي، وسيكون مصيره الفناء في النهاية. يتحقق هذا مهما كان حجم المجتمع في البداية. حتى لو بدأنا بالسعة القصوى 100 جوبي (x = 1)، فلن يتبقى أيٌّ منها في النهاية. يمكنك ملاحظة ذلك في الأمثلة أدناه، حيث r = 0.9 . يُظهر الرسم البياني الأول تطور المجتمع إذا كانت قيمة النسبة الأولية x = 0.7 والثاني إذا كانت قيمتها x = 0.4.

تنبؤات نسبة السعة القصوى (المحور الرأسي) لأول 30 شهرًا (المحور الأفقي)، لـ r = 2، والنسبة الأولية x = 0.7 . سيكون مصير هذا المُجتمع الفناء في النهاية.

تنبؤات نسبة السعة القصوى (المحور الرأسي) لأول 30 شهرًا (المحور الأفقي)، لـ r = 2، والنسبة الأولية x = 0.4 . سيكون مصير هذا المُجتمع الفناء في النهاية.

تسير الأمور بشكل أفضل نوعا ما، إذا كان معدل النمو r ما بين 1 و 3. حيث لن يفنَ المُجتمع، ولكن سيستقر حول قيمة محددة في النهاية. يتحقق هذا أيضا مهما كان حجم المجتمع في البداية. يمكنك ملاحظة هذا في المثال أدناه، حيث r = 2 . يُظهر الرسم البياني الأول تطور المجتمع إذا كانت قيمة النسبة الأولية x = 0.4 والثاني إذا كانت قيمتها x = 0.6 (القيمة التي سيستقر عليها المُجتمع هي \frac{(r-1)}{r} في النهاية)

تنبؤات نسبة السعة القصوى (المحور الرأسي) لأول 30 شهرًا (المحور الأفقي)، لـ r = 2، والنسبة الأولية x = 0.4 . تستقر النسبة في النهاية.

تنبؤات نسبة السعة القصوى (المحور الرأسي) لأول 30 شهرًا (المحور الأفقي)، لـ r = 2، والنسبة الأولية x = 0.6 . تستقر النسبة في النهاية.

عندما تتعاظم r إلى 3، فستصبح نسبة السعة القصوى غير مُستقرة حول قيمة واحدة محددة. لكن سلوكها سيظل قابلا للتنبؤ تماما: فبدلا من التركُّز عند حجم محدد، سيتزايد حجم مُجتمع الجوبي ويتناقص بشكل دوري حول عددٍ من القيم المختلفة. يتحقق هذا أيضا مهما كان حجم المجتمع x في البداية (يمكنك معرفة المزيد عن هذا السلوك الدوري مــن هــنــا).

يمكنك ملاحظة هذا في المثال أدناه، حيث r = 3.5 . يُظهر الرسم البياني الأول تطور المجتمع إذا كانت قيمة النسبة الأولية x = 0.6 والثاني إذا كانت قيمتها x = 0.3

تنبؤات نسبة السعة القصوى (المحور الرأسي) لأول 30 شهرًا (المحور الأفقي)، بالنسبة لـ r = 3.5 والنسبة الأولية x = 0.6. في النهاية، يستقر حجم المجتمع في نمط دوري، يتراوح بين أربع قيم مختلفة (تظهر بألوان مختلفة).

تنبؤات نسبة السعة القصوى (المحور الرأسي) لأول 30 شهرًا (المحور الأفقي)، بالنسبة لـ r = 3.5 والنسبة الأولية x = 0.3. في النهاية، يستقر حجم المجتمع في نمط دوري، يتراوح بين أربع قيم مختلفة (تظهر بألوان مختلفة).

إن سلوك مُجتمع الجوبي، حسب تقدير المتتالية اللوجستية، قابل تماما للتنبؤ إلى الآن: فقد استقر في نمط يمكن التنبؤ به، ولم يعتمد هذا النمط على قيمة x الابتدائية. ومع ذلك، فإن كل هذا سينهار بمجرد أن يقترب معدل النمو من قيمة مُعينة، قريبة من 3.56995.

بالنسبة لمعظم قيم r عند قيمة 3.56995 المشئومة أو بعدها؛ قد لا يستقر حجم المُجتمع في نمط قابل للتنبؤ أبدا، لكن الأسوأ: أن تؤدي قيمتان مختلفتان للبداية x إلى تنبؤات متباينة تماما للمستقبل (مهما كانت القيمتان متقاربتان جدا جدا).

يمكنك ملاحظة هذا في المثال أدناه، حيث r = 4 . يُظهر الرسم البياني الأول تطور المجتمع إذا كانت قيمة النسبة الأولية x = 0.6 والثاني إذا كانت قيمتها x = 0.62 . على الرغم من أن القيمتين مُتقاربتان جدا، إلا أن حجم مُجتمع الجوبي يتطور بشكل مُتباين تماما في المستقبل.

تنبؤات نسبة السعة القصوى (المحور الرأسي) لأول 30 شهرًا (المحور الأفقي)، بالنسبة لـ r = 4 والنسبة الأولية x = 0.6.

تنبؤات نسبة السعة القصوى (المحور الرأسي) لأول 30 شهرًا (المحور الأفقي)، بالنسبة لـ r = 4 والنسبة الأولية x = 0.62. على الرغم من أن هذه القيمة قريبة جدًا من نسبة البداية أعلاه والبالغة 0.6، إلا أن حجم مُجتمع الجوبي يتطور بشكل مختلف تماما.

مما سبق، يمكن أن تؤدي قيم البداية المختلفة إلى نتائج متباينة تماما في المستقبل، مما يجعل من إمكانية التنبؤ أمرا صعبا للغاية. بحيث إذا أخطأت في حساب تعداد المُجتمع في البداية (مثلا: لأن سمكة جوبي ما كانت مختبئةً خلف الحوض المائي بحيث لم تلحظها ومن ثَم لم تُضفها إلى قيمة x الابتدائية) فسيكون تنبؤك عديم الفائدة.

تُعرف هذه الظاهرة بالاعتماد الحساس على الظروف الأولية أو تأثير الفراشة. التأثير هو السمة المميزة للفوضى الرياضية (يمكنك الحصول على تعريف رياضي دقيق مــن هــنـا).

لا يَظهر الاعتماد الحساس على الظروف الأولية في المتتالية اللوجستية فحسب، بل في العديد من الصيغ الرياضية الأخرى أيضا، مثل تلك المُستخدمة في التنبؤ بالطقس. وهذا ما يجعل من مسألة التنبؤ بالعديد من أنظمة الحياة في واقعنا المُعاش، أمرا صعبا للغاية. إن ما يجعل المتتالية اللوجستية مميزة؛ أنها تعبير رياضي بسيط نسبيا. أي يمكن للفوضى أن تنتج حتى عندما لا يكون النظام الأساسي معقدا.

أخيرا، ينبغي أن نُشير أنه بالنسبة للمتتالية اللوجستية: لا تؤدي جميع قيم r التي تتجاوز 3.56995 إلى عرض يُظهر الفوضى. حيث تتواجد بعض النطاقات المعزولة لقيم r التي تصبح من أجلها النتائج قابلة للتنبؤ مرة أخرى. تُسمى هذه النطاقات جزر الاستقرار.

يمكنك قراءة ومعرفة المزيد عن الفوضى (الشواش) في مقالات المجلة من هــنــا


المقال الأصلي

Maths in a minute: The logistic map

نُشِر بتاريخ: January 26, 2021

——————

ترجمة: مديحة حوري.

هذا المنشور نشر في رياضيات في دقيقة وكلماته الدلالية , , , , , , . حفظ الرابط الثابت.

اترك تعليقًا

إملأ الحقول أدناه بالمعلومات المناسبة أو إضغط على إحدى الأيقونات لتسجيل الدخول:

شعار ووردبريس.كوم

أنت تعلق بإستخدام حساب WordPress.com. تسجيل خروج   /  تغيير )

Google photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Google. تسجيل خروج   /  تغيير )

صورة تويتر

أنت تعلق بإستخدام حساب Twitter. تسجيل خروج   /  تغيير )

Facebook photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Facebook. تسجيل خروج   /  تغيير )

Connecting to %s