رياضيات في دقيقة: متتاليات ن_ فيبوناتشي

متتالية فيبوناتشي نسبة إلى عالم الرياضيات ليوناردو فيبوناتشي

متتالية فيبوناتشي، هي متتالية تبدأ بالعددين 0 و 1 ويساوي فيها الحدُّ مجموع الحدّين السابقين له إلى المالانهاية:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,…

 متتالية 3_ فيبوناتشي مختلفة نوعا ما. تبدأ بالأعداد 0 و 0 ثم 1، ويساوي فيها الحدّ مجموع الحدود الثلاثة السابقة له إلى المالانهاية:

0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274,…

 متتالية 4_ فيبوناتشي تبدأ بالأعداد 0 و 0 و 0 ثم 1، ويساوي فيها الحدّ مجموع الحدود الأربعة السابقة له إلى المالانهاية:

0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208,…

 يمكنك ملاحظة كيفية تعميم ذلك بشكل أوسع: تبدأ متتالية ن_ فيبوناتشي بـ (ن – 1) أصفار متبوعة بـ 1، ويساوي فيها الحدّ مجموع الحدود “ن” السابقة له.

تُطابق متتالية فيبوناتشي التقليدية متتالية 2_ فيبوناتشي. وتتكون متتالية 1_ فيبوناتشي بالكامل من العدد 1: … ,1 ,1 ,1 ,1

ثوابت ن_ فيبوناتشي

لمتتالية فيبوناتشي خاصية مميزة، إذا ما قسَّمنا كل حدٍّ على الحدِّ الذي يسبقه، فسنحصل على متتالية من النسب:

\frac{1}{1}, \frac{2}{1}, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}, \frac{8}{5}, \frac{13}{8}, \frac{21}{13}, \frac{34}{21}, \frac{55}{34}, \frac{89}{55}, \frac{144}{89},...

(هذا بتجاهل النسبة بين الحدّين الأوليين لأن القسمة على 0 غير معرفة). تتقارب متتالية النسب هذه من قيمة حدّية، هي النسبة الذهبية الشهيرة:

\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1.61803398875...

يمكنك قراءة المزيد عن من هـــنا.

هل لمتتاليات ن_ فيبوناتشي خاصية مماثلة لهذه؟ الإجابة “نعم”، وتدعى الحدود الموافقة لها ثوابت ن_ فيبوناتشي. وفيما يلي ثوابت ن_ فيبوناتشي الخمسة الأولى:

ثابت ن_ فيبوناتشي

ن

1

1

…1.61803

2

…1.83928

3

…1.92756

4

…1.96595

5

في الواقع، من الممكن توضيح أنَّه لأي عدد طبيعي “ن” فإن ثابت ن_ فيبوناتشي الموافق له هو حل المعادلة:

     (1)                                    \ x + \frac{1}{x^ N}=2

للمعادلة دائما حل واحد أكبر من 1. وهو ثابت ن_ فيبوناتشي الموافق.

متتالية فيبوناتشي اللانهائية

يمكننا الحديث حتى عن متتالية فيبوناتشي اللانهائية، حيث “ن” تساوي المالانهاية. وتبدأ بعدد لانهائي من الأصفار، متبوعاً بـ 1. الحدُّ اللاحق هو مجموع العدد اللانهائي من الأصفار الابتدائية و 1، مما يعطينا 1. الحدود اللاحقة كالآتي:

(مجموع العدد اللانهائي من الأصفار الابتدائية) +1 + 1 = 0 + 1 + 1 = 2

(مجموع العدد اللانهائي من الأصفار الابتدائية) +1 + 1 + 2 = 0 + 1 + 1 + 2 = 4

(مجموع العدد اللانهائي من الأصفار الابتدائية) +1 + 1 + 2  + 4 = 0 + 1 + 1 + 2  + 4 = 8

 بالاستمرار على هذا النحو سنلاحظ أن متتالية فيبوناتشي اللانهائية هي المتتالية التي تبدأ بعدد لانهائي من الأصفار متبوعاً بقوى العدد 2.

ماذا عن متتالية النِسَب (نِسب الحدود المتعاقبة) لفيبوناتشي اللانهائية؟ هل لها قيمة حدّية أيضا؟ نظرا لأن القسمة على 0 غير مُعرفة، فسنتخطى العدد اللانهائي من الأصفار في البداية وننظر إلى النِسب بين الحدود المتعاقبة للمتتالية، سنلاحظ أن الحدود المتعاقبة هي دائما من الشكل 2^{k-1} و 2^{k}  لعدد طبيعي k ومنه فإن قسمة حدٍّ ما على الذي قبله تعطينا \frac{2^{k}}{2^{k-1}} = 2 مهما يكن k وبالتالي فإن متتالية نِسب الحدود المتعاقبة (بدءًا، بعد الأصفار الابتدائية) تتكون بالكامل من العدد 2، مما يعني أن قيمتها الحدّية، أو ما قد يُدعى ثابت فيبوناتشي اللانهائي، يساوي 2.

يتوافق هذا مع المعادلة (1) أعلاه. لنفترض أنَّ N في هذه المعادلة تؤول إلى مالانهاية. ومن ثم، فطالما x > 1  (وهو ما يمكننا افتراضه بما أننا ندرس حلولا أكبر من 1)، فإن الحدَّ \ \frac{1}{x^ N} في المعادلة يؤول إلى 0. مما يعني أن حل المعادلة الأكبر من 1 يؤول إلى 2.

أخيرا، فإن من المثير للاهتمام أن تعلم أن فيبوناتشي قد توصل إلى المتتالية أثناء تفكيره في مجتمع افتراضي من الأرانب (يمكنك معرفة المزيد من هـــــنـا). وقد تم اقترح أن لمتتالية 3_ فيبوناتشي صلة بعالم الحيوان، حسب ما جاء في كتاب تشارلز داروينأصل الأنواع “.


المقال الأصلي

Maths in a minute: N-bonacci sequences

نُشِر بتاريخ: September 14, 2020

——————

ترجمة: مديحة حوري.

نُشِرت في رياضيات في دقيقة | الوسوم: , , , , , | أضف تعليق

سلسلة الرياضيات في دقيقة، الجزء الثاني.pdf

 

سلسلة دورية على مجلة Plus+ التابعة لجامعة كامبريدج

ترجمة: مديحة حوري

 2020

عدد المقالات: 45  | عدد الصفحات: 130

——————————————————————

رابط التحميل: اضــغــط هـــنــا

——————————————————————

الكتاب مُتاح للجميع للتحميل، النشر، المشاركة والتقييم.

خالص تحياتي

نُشِرت في مختارات رياضيات مترجمة, رياضيات في دقيقة | الوسوم: , , , , , , | أضف تعليق

رياضيات في ثلاث دقائق: إسقاط الخرائط

هل هناك العديد من الطرق لإسقاط الأرض المستديرة على خريطة مُسطحة !؟

إنَّ أول ما يتبادر إلى الذهن عند التفكير في الأرض من الناحية الجغرافية “إسقاط مركاتور” الذي ابتكره العالم الجغرافي ورسام الخرائط الفلمنكي جيراردوس مركاتور خلال القرن 16.

إسقاط مركاتور. صورة: Daniel R. Strebe, CC BY-SA 3.0

تكمن الفكرة الأساسية لهذا الإسقاط في إحاطة الكرة الأرضية (أو أفضل مُجسم لها) باسطوانة، بحيث يتم التلامس بين الكرة الأرضية والاسطوانة عند خط الاستواء. ومن ثَم إسقاط كافة سمات ونقاط الأرض عليها، عن طريق اختيار نقطة ما x ورسم الخط الذي يربطها بمركز الكرة، ثم تمديد هذا الخط إلى أن يقطع الأسطوانة عند نقطة ما y (النقطة y هي مسقط النقطة x). باستخدام هذه التقنية يمكننا تتبع مخطط القارات والبلدان على الأسطوانة بعد فتحها وبسطها لتشكل خريطة مستطيلة مُسطحة.

إسقاط أسطواني. تخيل وجود مصباح كهربائي في مركز الأرض. ستُـلقي القارات والجزر بظلالها على الأسطوانة، بحيث يمكن بعد ذلك فتحها وبسطها لتشكل ورقة مُسطحة. الصورة من NOAA

ومع ذلك، فإن مشكلة تنشأ كلما اقتربنا من القطبين، حيث تُصبح الإسقاطات أعلى وأعلى الأسطونة كلما اقتربنا من القطب الشمالي وتتباعد أسفل الأسطوانة كلما اقتربنا من القطب الجنوبي. أي أن إسقاط الكرة الأرضية بأكملها يتطلب أسطوانة تمتد إلى المالانهاية مع عدم ظهور القطبان في حد ذاتهما نهائيا: فالخط الذي يربطهما بمركز الكرة الأرضية موازٍ لجوانب الأسطوانة وبالتالي لن يقطعها أبدا.

يُشير هذا الرسم البياني إلى أنَّ إسقاط النقاط القريبة من القطب الشمالي (النقطتان على اليمين، مثلا) أعلى بكثير من النقاط القريبة من خط الاستواء (النقطتان على اليسار، مثلا). ويشير أيضًا إلى التشوه الذي يحدث كلما اقتربنا من القطبين

يُعد إسقاط مركاتور أحد أشكال هذا الإسقاط الأسطواني، بحيث يضمن تمثيل الزوايا بأمانة على الخريطة (راجع هذا الرابط لمزيد من التفاصيل حول رياضيات الإسقاط). ومع ذلك فإنَّ مشكلة القطبين تظل سارية، ولهذا السبب لا يتضمن إسقاط مركاتور القطبين والمجال المُحيط بهما.

نكمن الميزة العظيمة لإسقاط مركاتور أنّ تحديد اتجاه البوصلة يتوافق مع الخطوط المستقيمة على الخريطة. ما يعني أنَّك في حال أردت الإبحار من A إلى B فالأمر لا يتطلب سوى رسم خط مستقيم بينهما على الخريطة. حيث تُطلعك الزاوية التي يصنعها الخط مع خط الاستواء (أو أي خط من خطوط العرض) باتجاهك شمالا أو جنوبا وتُطلعك علاقتها بخط غرينتش باتجاهك شرقا أو غربا. ومن ثَمَّ تختار وِجهتك بناءًا على هذه المُعطيات مع الاستعانة بالبوصلة كمُرشد دائم إلى حين بلوغ وِجهتك بأمان.

تشوية غير عادل

إنَّ من عيوب إسقاط مركاتور أنه كنتيجة مباشرة لتقنية الإسقاط الأسطواني، فإن المسافات القريبة من القطبين تبدو مُمتدة، مما يجعل الأماكن القريبة من القطبين تبدو أكبر بكثير مما هي عليه في الواقع. إذ وفقًا للإسقاط القياسي، فإنَّ غرينلاند تبدو أكبر بكثير من إفريقيا، في حين أن إفريقيا في الحقيقة أكبر بأكثر من 14 مرة من غرينلاند !! إنَّ لهذا الأمر عواقب وخيمة على المستوى السياسي، حيث تقع أوروبا وأمريكا الشمالية على مسافة مُعتبرةٍ شمال خط الاستواء مُستفيدةً بذلك من التشويه، فتبدو المساحات هائلة في الشمال مقابل كون مساحة المناطق الاستوائية والمدارية أقل من حجمها الحقيقي بكثير، أي إضافة تمييزٍ خرائطي إلى التمييز العنصري والثقافي والاقتصادي.

عموما، لا يخلو أيُّ إسقاط للكرة الأرضية على خريطة ثنائية الأبعاد من عيبٍ (لن يكون دقيقًا بنسبة 100٪)  لذلك فإنَّ الطريقة الوحيدة لتمثيل سطح الكرة الأرضية على ورقة مُسطحة تكمن في إحداث تشويه ما. يمكنك التأكُّد من ذلك بنفسك عن طريق تقشير برتقالة والحرص على الحفاظ على قشرتها ضمن قطعة واحدة. إنه وبمجرد التخلص من القشرة، فإنها ستحافظ تلقائيا على شكلها المستدير. يحيث ستؤدي أيُّ محاولة لتسطيح القشرة إلى قطعها أو تشويهها.

مثال آخر على التشويه (الذي لا مناص منه) يأتينا من الإسقاط المُجسم: تخيل التماسَّ بين ورقة مُسطحة والقطب الشمالي بحيث تكون الورقة في وضعٍ شاقولي على المحور الشمالي-الجنوبي للكرة الأرضية.

إسقاط مُجسم لكرة على مستوى ثنائي الأبعاد.

يمكنك الآن رسم خطوط مستقيمة مُمتدة من القطب الجنوبي عبر أي نقطة x على الأرض، وبالتالي فإنَّ مسقط النقطة x هو النقطة y موضع تقاطع الخط المستقيم بالورقة المُسطحة. يحافظ نموذج الإسقاط هذا على الزوايا، ويُعد رائعًا لاستكشاف القطب الشمالي، لكنه يصبح مشوَّهًا أكثر فأكثر كلما اقتربنا من القطب الجنوبي. (يمكنك أيضًا جعل الورقة تلامس الكرة الأرضية في أي نقطة أخرى للحصول على خريطة المنطقة المحيطة بتلك النقطة.)

إسقاط مُجسم. صورة: Strebe, CC BY-SA 3.0

هناك أيضًا إسقاطات أخرى تحاول تقليل التشويه. من بينها إسقاط وينكل الثلاثي. وهو متوسط الاحداثيات لإسقاطين آخرين، إسقاط أيتوف والإسقاط متساوي المستطيلات، بهدف تقليل التشوه في المسافة والاتجاه والمساحة.

إسقاط وينكل الثلاثي. صورة: Strebe, CC BY-SA 3.0

من الإسقاطات الأخرى المعروفة أيضا، والتي تُستخدم غالبًا على النقيض من إسقاط مركاتور، إسقاط غال-بيترز، الذي يمثل الحجم النسبي للمناطق بأمانة (ستندهش من مدى ضآلة مساحة أوروبا حقًا) لكنه يُشوه الأشكال بشكل كبير. إذ بالقرب من خط الاستواء، تُضغَط الأشكال أفقيًا وتمتد عموديًا، وبحدث العكس بالقرب من القطبين. فتبدو القارات التي يجتازها خط الاستواء طويلة ونحيفة، وهذا هو سبب تشبيه هذا الإسقاط بحبل غسيلٍ تم تعليق البلدان عليه لتجف.

إسقاط غال-بيترز. صورة:  Strebe, CC BY-SA 3.0

بالعودة إلى إسقاط مركاتور الذي بدأنا به، فإن من المُمتع إحاطة الكرة الأرضية باسطوانة لكن بطريقة مختلفة هذه المرة، أي تدوير الأسطوانة بمقدار 90 درجة، مثلا.

يُمكِّنك ذلك من الحصول على إسقاط مركاتور المستعرض، الذي يتضمن كِلا القطبين ويجعل العالم يبدو مختلفًا تمامًا عما اعتدنا عليه.

إسقاط مركاتور المستعرض

كانت هذه مجرد جولة بسيطة وقصيرة جدا في عالم إسقاط الخرائط الرائع. الذي يتطلب منا استكشافًا أعمق. في حال كان لديك إسقاط مفضل ترغب مشاركته، فما عليك إلا مُراسلة المجلة على البريد الإلكتروني plus@maths.cam.ac.uk


المقال الأصلي

Maths in three minutes: Map projections

نُشِر بتاريخ: August 11, 2020

——————

ترجمة: مديحة حوري.

نُشِرت في رياضيات في دقيقة | الوسوم: , , , , , , , | أضف تعليق

القليل من المُتعة مع الأعداد الأولية بالبايثون

 

لُعبة بسيطة مُقتبسةٌ من كتاب أتمتة الأشياء المٌملة بالبايثون مع القليل من التحديثات البرمجية.

في كل مرة، سيختار البرنامج عددا أوليا ما بين 1 و100 بشكل عشوائي.
على اللاعب العثور على ذلك العدد في ظرف 5 محاولات فقط.
الهدف هو التسلية وحفظ الأعداد الأولية الأقل من 100 بطريقة مُمتعة.

رابط اللعبة  مــن هــنــا  وحظ موفق للجميع.

نُشِرت في آل خوارزمـيـات | الوسوم: , , , | أضف تعليق

القليل من المرح: تشغيل خوارزمية رياضية تاريخية بالبايثون

لمحة عامة: يتعلق الأمر ببرنامج بسيط ذو كفاءة في تحديد اليوم الموافق لأي تاريخٍ قديم أو حديث أو في المستقبل. ورغم أنَّ البايثون قد جعل من هذا الأمر مجرد إجراءٍ روتيني سهل التنفيذ (مثال) إلا أنَّ استكشاف مقدار التعقيد الذي قد تُخفيه بعض خوارزميات التأريخ الأنيقة (مثال) لأمرٌ يستحق العناء.

الاسم: برنامج تحديد اليوم الموافق لأي تاريخٍ قديم أو حديث أو في المستقبل وفق لغة البايثون.

الكود المُستخدم: قُمت بتحميله على موقع GitHub وعلى موقع repl.it تحت الاسم المُختصر DayName.

تشغيل البرنامج: في حال عدم توفُّر قارئ أكوادٍ على جهازك بامكانك نسخ الكود من أحد الموقعين أعلاه ولصقه على هذا القارئ المفتوح المصدر لاستظهاره مباشرة، ثم اتباع الخطوات في المثال التوضيحي بالصور أدناه للحصول على النتيجة.

للمزيد من المرح: للخوارزمية عيبٌ بسيط واحدٌ له علاقة باعادة ترقيم الأشهر من خلال تأخير ترتيب شهري جانفي وفيفري في الرزنامة، لذلك إن كنت قد اخترت تاريخا يقع في شهر جانفي(11) أو فيفري(12) فإنّ البرنامج سيؤخر يوما أو يُقدّمه ثم سيعود ويصحّح نفسه بنفسه للوصول إلى “اليوم الموافق” الصحيح في النهاية. لذلك ستُصادف نتائج مُسَلية من مِثل (الأحد. عذرا، بل السبت) أو (الثلاثاء. عذرا، بل الأحد. بل هو الإثنين) سببها رغبتي في أن يقوم الكود بتصحيح خطئه مع الحفاظ على بساطته وطابعه المرِح. فالغرض استكشاف مدى تعقيد الخوارزمية التاريخية لا القضاء على عيوبها.

بعض التفاصيل البرمجية: الثغرة: تقع في شهري جانفي (11) وفيفري (12) فقط. وقد قُمت بمعالجتها لكل التواريخ في القرن الــ20 (cc==19) والقرن الــ21 (cc==20) على التوالي. الميزة: بالنسبة للأشهر الأخرى (من مارس إلى ديسمبر) فالبرنامج صالح لكل التواريخ القديمة والحديثة والمستقبلية على اختلافها.

مثال توضيحي بالصور: تحديد اليوم الموافق لاندلاع الثورة الجزائرية (1 نوفمبر 1954)

الخطوة.1- لصق الكود على القارئ المفتوح المصدر والضغط على زر التشغيل Run.

الخطوة.2- كتابة رقم اليوم: 1 ثم الضغط على الزر ENTER على جهاز الكمبيوتر.

الخطوة.3- كتابة رقم الشهر (وفقا للترقيم المُعطى) وهو: 9 ثم الضغط على ENTER.

الخطوة.4- كتابة رقم السنة: 1954 ثم الضغط على ENTER. والحصول مباشرة على اليوم الموافق: الإثنين.

لمعاينة تاريخٍ آخر، ما عليك سوى الضغط على زر التشغيل Run ليبدأ البرنامج من جديد.

وفي الأخير. أتمنى أن تستمتعوا بتجربة البرنامج على تواريخ قديمة تتعلق بأوطانكم… أو أخرى حديثة تتعلق بتاريخ ميلادكم، اهتماماتكم… أو مُستقبلية تتعلق بمواعيدكم، مناسباتكم…وأن تستعينوا بهذه الرزنامة للتأكد من النتائج أو لاستكشاف عثراتٍ أتمنى موافاتي بها هنا في التعليقات أو على بريدي الإلكتروني (math.nights@gmail.com) وشكرا مُقدما.

 

نُشِرت في آل خوارزمـيـات | الوسوم: , , , | أضف تعليق

حلول مسائل Harmash في الخوارزميات وهياكل البيانات بالبايثون

يعرض موقع  Harmash  دورة تمارين في الخوارزميات وهياكل البيانات، بهدف تطوير القدرات البرمجية لكل مهتم بالمجال. تتكون الدورة من سلسلة من التمارين المتقدمة والمتنوعة (مع الحل وبخمس لغات برمجة) وذلك على شكل تحدِّيات كالآتي:

  1. رسم أشكال هندسية: 10 تحديات (50 تمرينا)
  2. التعامل مع الأرقام والنصوص: 03 تحديات (15 تمرينا)
  3. إجراء عمليات حسابية: 09 تحديات (45 تمرينا)
  4. التعامل مع المصفوفات: 06 تحديات (30 تمرينا)
  5. تراكيب البيانات: تحدييْن اثنين (في شكل مشروعين كاملين)
  6. حساب وقت الخوارزميات: شرح مفصّل، أمثلة تطبيقية ومصادر مفيدة.

اجتزت الدورة وأتممت حل جميع تحدّياتها وفق لغة البايثون، ولأن الحلول التي اعتمدتها كانت من “مختلفة تماما” إلى”مختلفة نوعا ما” عن نظيرتها في الموقع، فقد آثرت – من باب حفظها ثم مشاركتها والإثراء –  نسخها على حساب GitHub الخاص بالمدونة.

في الرابط مـــن هـــنــا سلسلة أكواد الخوارزميات التي اعتمدتها في حل كل مسألة.

(استثناء: في تراكيب البيانات، نسخت نموذج الحل المُعتمد في الموقع للمشروع الأول والثاني مع إجراء بعض التعديلات السطحية فقط، نظرا لبساطته ومرونته في التعامل مع جميع المعطيات وتنفيذ المطلوب بكفاءة.)

[صـحّـه عـيـدكـم و تـقـبَّـل الله صيامكم. كل أسبوع وأنتم من المُبرمِـجين لا المُبرمَـجين]

نُشِرت في آل خوارزمـيـات | الوسوم: , , , , , , | أضف تعليق

رياضيات في دقيقة: المعادلات التفاضلية

يمكن لسيارة “فيراري 330 بي 4” هذه، السَير بسرعة تفوق 70 ميلا في الساعة.

تخيل أنَّك تقود على الطريق السريع بسرعة ثابتة تبلغ 70 ميلا في الساعة. في حال بلغت وجهتك بعد ساعتين، فستدرك مباشرة أنك قد قطعت مسافة 140 ميلا. في الواقع، إنَّ ما قمتَ به الآن (ومن دون أن تشعر) هو حل معادلة تفاضلية. السرعة هي معدل تغَـيُّـر المسافة بالنسبة للزمن. ومن خلال ملاحظة مُعدل التغيُّر هذا، فقد حددت قيمة المقدار الذي تَغَـيَّـر في النهاية، أي المسافة

هذا ببساطة ما تدور حوله المعادلات التفاضلية. إنَّ أغلب ما نراه وما يمكننا قياسه عند التأمل في العالم من حولنا هو التَـغَـيُّـر: كيف يتغير مقدار ما y بالنسبة للزمن، أو الفضاء، أو بالنسبة لمقدار آخر x . يمكننا وصف هذا التَـغَـيُّـر بواسطة معادلة: وهذا ما يدعى بالمعادلة التفاضلية العادية. في مثال السيارة، يُمثل y المسافة وتُمثل x الزمن. بأخذ \frac{dy}{dx} لمعدل التغيُّـر، فإن المعادلة التفاضلية العادية الموافقة هي:

\frac{dy}{dx}=70.

يتم حل المعادلة التفاضلية انطلاقا من معدل تغيُّر y بالنسبة إلى x أي قيمة y لكل قيمةٍ من x . في مثال السيارة، حل المعادلة التفاضلية العادية هو:

y(x) = 70x.

من أجل x=2 ، فإن المسافة المقطوعة بعد ساعتين هي:

y(2)=70 \times 2=140

كما ذكرنا سابقا.

السرعة هي معدل تغيُّر المسافة بالنسبة للزمن: وهو ما يُدعى بالمشتق الأول للمسافة بالنسبة للزمن. التسارع هو معدل تغيُّر السرعة بالنسبة للزمن، ما يجعله المشتق الثاني للمسافة بالنسبة للزمن. يمكنك الاستمرار على نفس المنوال. معدل تغيُّر التسارع بالنسبة للزمن هو المشتق الثالث للمسافة بالنسبة للزمن، وهكذا دواليك، مما يمنحك سلسلة كاملة من المشتقات ذات الرُتب الأعلى. المعادلة التفاضلية العادية هي معادلة تتضمن مقدارًا y ومشتقاته ذات الرتب الأعلى بالنسبة إلى مقدارٍ x .

لا يتوقف الأمر عند هذا القدر. يمكنك أيضا إنشاء معادلات تتعلق بمعدلات التغير لمقدار y بالنسبة إلى العديد من المقادير الأخرى. فمثلا، إذا أخذنا بعين الاعتبار كيفية تغيُّر المقدار y أثناء التنقل في الفضاء (الفراغ)، فالأمر يتطلب دراسة معدل تغيّره بالنسبة لاتجاهات الفضاء الثلاثة. أي استخدام مشتقات جزئية للمقدار y بالنسبة لأي مقدار من المقادير المطلوبة. تُدعى المعادلة التي تتضمن هذه المشتقات الجزئية (لجميع الرتب) بالمعادلة التفاضلية الجزئية.

للمعادلات التفاضلية استخدامات لا حصر لها في جميع مجالات الرياضيات والعلوم. لاستكشاف المزيد من الأمثلة، راجع هذه المقالات على مجلة بلاس، أو صفحة ويكيبيديا.


المقال الأصلي

Maths in a minute: Differential equations

نُشِر بتاريخ: May 6, 2020

——————

ترجمة: مديحة حوري.

(تمت المراجعة يوم الأحد 2020/08/09)

نُشِرت في رياضيات في دقيقة | الوسوم: , , , | أضف تعليق

رياضيات في دقيقة: متتالية فيبوناتشي

ليوناردو فيبوناتشي (1175- 1250م)

متتالية فيبوناتشي

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

هي واحدة من أشهر متتاليات الأعداد على الإطلاق. والموضَّح أعلاه، الأعداد الأولى منها، لكن ما العدد التالي؟ الجواب بسيط. كل عدد في متتالية فيبوناتشي (إنطلاقا من 2) هو مجموع العددين السابقَين له:

  • 1+1 = 2
  • 1+2 = 3
  • 2+3 = 5
  • 3+5 = 8

وهكذا دواليك. لذلك من السهل جدا معرفة أن العدد التالي في المتتالية أعلاه هو 144 أي ( 55+89 ) ومعرفة (نظريا على الأقل) الأعداد التي تليه إلى المالانهاية.

مـا مصدرها؟

نسبة إلى عالم الرياضيات ليوناردو فيبوناتشي الذي صادفها في بدايات القرن الثاني عشر خلال التأمل في مسألة طريفة نوعا ما. بدأ فيبوناتشي بزوج من الأرانب الصغيرة الخيالية، ذكراً وأنثى كالآتي:

اكتمل بلوغهما بعد شهر واحد

تزاوجا، بحيث أنجبا زوجا من الأرانب (ذكرا وأنثى) بعد شهر.

اكتمل بلوغ زوج الأرانب بعد شهر، وأنجب الزوج الأول زوجا آخر من الأرانب (للمرة الثانية، ذكرا وأنثى).

مع تجاهل بعض مسائل التناسل، بعد شهر، أصبح لكلٍ من الزوجين البالغَين زوجٌ من الأرانب الصغيرة واكتمل بلوغُ زوج الأرانب من الشهر السابق.

تساءل فيبوناتشي عن عدد الأرانب التي يمكن أن ينتجها زوج واحد بعد عام من خلال عملية التكاثر، المُذهلة، هذه (الأرانب لا تموت أبدا، كل شهر، يُنتج كل زوج بالغ زوجا مختلطا (ذكرا وأنثى) من الأرانب الصغيرة التي يكتمل بلوغها بعد شهر) وأدرك أنَّ عدد أزواج الأرانب البالغة في شهر معين هو إجمالي عدد الأرانب (البالغة والصغيرة) في الشهر السابق. بأخذ A_ n لعدد أزواج الأرانب البالغة في الشهر n و R_ n لإجمالي عدد الأزواج في الشهر n ينتج الآتي:

A_{n}=R_{n-1}

أدرك فيبوناتشي أيضا أنَّ عدد أزواج الأرانب الصغيرة في شهر معين هو عدد أزواج الأرانب البالغة في الشهر السابق. بأخذ B_n لعدد أزواج الأرانب الصغيرة في الشهر n ينتج ما يلي:

B_ n = A_{n-1} = R_{n-2}.

وبالتالي، فإن العدد الإجمالي لأزواج الأرانب (البالغة + الصغيرة) في شهر معين هو مجموع العدد الإجمالي لأزواج الأرانب في الشهرين السابقين:

R_ n = A_ n + B_ n = R_{n-1}+R_{n-2}.

انطلاقا من زوج واحد، فإن المتتالية التي نشأت هي ذاتها المتتالية عند مطلع هذه المقالة بالضبط. ومن هنا يمكننا أن نلاحظ أنَّه بعد اثني عشر شهرا سيصبح العدد 144 زوجا من الأرانب.

مــا مصيرها ؟

لا تتكاثر الأرانب الحقيقية على نهج ما افترض فيبوناتشي، لكن متتاليته مازالت تظهر في الطبيعة بشكل متكرر، في ترتيب أوراق النباتات، في نمط أوراق الزهور والبتلات، وفي خلايا النحل وتفرعات جذوع الأشجار… كما ترتبط ارتباطا وثيقا بعدد مشهور يدعى النسبة الذهبية. لمعرفة المزيد قم بزيارة تشكيلة المقالات هذه حول فيبوناتشي ورياضياته. أما إذا كنت ترغب في سماع صوت متتالية فيبوناتشي فما عليك إلا الإستماع إلى هذا البودكاست من هنا.


المقال الأصلي

Maths in a minute: the Fibonacci sequence

نُشِر بتاريخ: May 1, 2020

——————

ترجمة: مديحة حوري.

(تمت المراجعة يوم السبت 2020/08/08)

نُشِرت في رياضيات في دقيقة | الوسوم: , , , | 2 تعليقان

رياضيات في دقيقة: الإنتروبيا

الإنتروبيا مفهومٌ غامض. يرى البعض أنَّ الإنتروبيا تقيس مقدار الاضطراب في النظام المادي، ويرى البعض الآخر أنَّها مقياسٌ للمعلومات، فيما يتحدث آخرون عنها في سياق المحركات البخارية. فما الإنتروبيا؟ وما الرابط بينها وبين هذه الرؤى المختلفة؟

محركات بخارية

لننطلق من البداية. شهد القرن التاسع عشر بزوغ فجر المحرك البخاري، لكنه شدَّد على واقع مزعج: كانت هذه المحركات تفتقر إلى الكفاءة بشكل مُروِّع. ما ألهم المهندس الفرنسي الشاب، سعدي كارنو، لوضع حدودٍ نظريةٍ لكفاءة المحركات البخارية (التي تعمل على تحويل الحرارة التي تتدفق من خزان ساخن نحو آخر بارد إلى شُغل). وفي عام 1824، نشر كارنو كتابا، اختار له عنوانا جميلا  ” تأملات في القدرة الدافعة للنار “، أظهر فيه أنَّه لا يوجد محرك حراري، مهما بلغت درجة كماله، كفؤٌ  بنسبة 100%. ستُبدَدُ دائما بعض الحرارة في المحرك.

بعد حوالي أربعين عاما من كارنو، ركَّز رودولف كلاوزيوس جُهده في التعامل مع هذا العجز الكامن في الشُغل، والموجود في جميع المحركات على اختلافها. ووجد صياغة رياضية (لاحظ المربع أدناه) لتحديد مقدار الطاقة في نظام مادي غير مُتاح للقيام بشغل. ووصف هذا المقدار بأنَّه إنتروبيا النظام.

التعريف الكلاسيكي للانتروبيا

في عملية عكوسية تتضمن إنتقال حرارة بحجم Q عند درجة الحرارة T. يتم قياس التغير في الإنتروبيا \Delta S عن طريق:

\Delta S = Q/T.

العملية العكوسية هي تلك التي لا يتم فيها تبديد الطاقة (من خلال الإحتكاك…إلخ). لمعرفة كيفية تطبيق هذه الصياغة على عمليات غير عكوسة أكثر واقعية ارجع للرابط من هـنـا

اضطراب

مكعبات ثلج في حالة ذوبان

توصَّل كارنو إلى أفكاره حول المحركات الحرارية بالرغم من اعتقاده أن الحرارة مقدار سائل، وهي ليست كذلك. الآن نعلم، بفضل كلاوزيوس، لورد كلفن و جيمس كلارك ماكسويل (وآخرين)، أن الحرارة شكل من أشكال الطاقة التي تأتي من الجزيئات والذرات المُشَـكِّـله للمادة. تلك الجزيئات أو الذرات التي تهتز، أو تدور، في سائل أو غاز، تتحرك بشكل عشوائي، وترتد عن بعضها بعضاً. وبقدر ما تم ذلك بقوة أكبر، بقدر ما ارتفع معدل طاقتها الحركية، وزادت حرارة المادة التي تنتمي إليها. يمكنك ملاحظة هذا في ذوبان مكعبات الثلج مثلا، إذ يتم حبس الجزيئات الفردية في شبكات متماسكة، لكن بمجرد تسخينها، تبدأ بالاهتزاز وتنكسر في النهاية، مما يجعل الماء سائلًا وأكثر دفئًا.

هرم عيد الميلاد: يتم تشغيل شفرات المروحة أعلى اللعبة من حرارة الشموع.

خلُص ماكسويل، لودفيغ بولتزمان وآخرون إلى إدراك أنَّ الإنتروبيا يمكن اعتبارها مقياسا لاضطراب في النظام. لأخذ فكرة عن الأمر، تخيل غرفة بها شمعة مشتعلة، يمكن تحويل حرارة الشمعة إلى شُغل. فمثلا، يمكنك استغلال الهواء الساخن المُتصاعد منها لتشغيل بعض ألعاب عيد الميلاد التي تعلوها شفرات مروحة (مثل الصورة الموضحة). تخيل الآن نفس الغرفة بعد احتراق الشمعة ودرجة الحرارة متماثلة في جميع أنحاء الغرفة. لا يمكنك الحصول على أي شُغل في هذه الحالة، لذلك إذا كنت تفكر في الإنتروبيا على أنها مقياس عدم القدرة على القيام بشُغل، فمن الواضح أنَّ الغرفة لها إنتروبيا أعلى بعد احتراق الشمعة مما كانت عليه أثناء اشتعالها.

أما على المستوى الجزيئي فإنَّ الحالة الثانية، بعد احتراق الشمعة، أقل ترتيبا أيضا. إنَّ حقيقة أنَّ درجة حرارة الهواء متماثلة في جميع أنحاء الغرفة تعني أنَّ الجزيئات سريعة الحركة ونظيرتها البطيئة مختلطة تماما: بحيث إذا تم فصلهما بطريقة ما، فسيحدث تدرُّج في درجة حرارة الغرفة. في الواقع، إنَّ التوازن الحراري الذي تجد الغرفة نفسها فيه هو أيضا حالة اضطراب قصوى. إذ طالما الشمعة مُشتعلة، فإنَّ الجزيئات سريعة الحركة ستتمركز حول اللهب، مما يجعل الوضع أكثر ترتيبا.

توصل ماكسويل وبولتزمان إلى صياغة تحدد مقدار الاضطراب في نظام يتكون من العديد من العناصر، مثل الغاز. تقوم على فكرة أنَّه، كلما كان النظام أقل ترتيبا، كلما زادت الطرق المتاحة لإعادة ترتيب عناصره الصغيرة دون إحداث فرق في ما يبدو عليه النظام ككل (لاحظ المربع أدناه). وقد اتضح أنَّ هذا التعريف للانتروبيا من حيث الاضطراب يعادل تعريف كلاوزيوس الأصلي من حيث درجة الحرارة والطاقة.

التعريف المجهري للإنتروبيا

لنفترض أن الغاز في مادة ماكروسكوبية معينة، مثلا، له درجة حرارة أو ضغط محدد. لنعتبر W عدد التشكيلات التي يمكن أن تكون عليها جزيئاته الفردية للحفاظ على بنيته الماكروسكوبية. وبالتالي فإن الإنتروبيا S تساوي:

S = k\ln {W}

حيث k هو ثابت بولتزمان

k = 1.38062 \times 10^{-23} J/K.

حيث J بالجول، وحدة الطاقة، وK هي درجة الحرارة بالكلفن.

تم نقش هذه الصياغة في ضريح بولتزمان في فيينا.

وتتحقق عندما يكون احتمال حدوث جميع تشكيلات الجزيئات متساويا. هناك تعميم لهذه الصياغة يتحقق عندما يكون احتمال حدوثها غير متساوِ. كالآتي:

S = -k \sum _ i p_ i\ln {p_ i}

حيث p_ i هو احتمال التشكيلة i

معلومات

ما الرابط بين الإنتروبيا والمعلومات؟ إذا كان النظام مُرتبا للغاية، فلن نتطلب الكثير من المعلومات لوصفه. مثلا، يمكنك وصف الترتيب المنتظم للجزيئات في مكعب ثلجي متجمد في عبارة واحدة، لكن إعطاء وصف دقيق لغاز، يحتوي على جزيئات تتحرك عشوائيا، يتطلب معرفة الموضع الدقيق وسرعة كل جزيء على حِدا. ما يعني الكثير من المعلومات. أي كلما زاد الاضطراب، أصبحت الإنتروبيا أعلى، وأصبح وصف النظام يتطلب المزيد والمزيد من المعلومات.

هذه هي الطريقة التي يرتبط بها مفهوم الإنتروبيا بكفاءة المحركات، بالاضطراب والمعلومات. الإنتروبيا مُقحمة أيضا في القانون الأساسي للطبيعة: ينص القانون الثاني للديناميكا الحرارية على أنَّ إنتروبيا نظام معزول لا يمكن أن ينخفض أبدا، يظل ثابتا أو يزيد. بالنسبة للمحركات، هذا يعني أنَّ أي محرك لن يصبح أبدا أكثر كفاءة من تلقاء نفسه، وهذا ما يتناسب مع الحدس. وبالنسبة للاضطراب، فهذا يعني أنَّ مصير أي نظام مادي يُِترك لفترة، أن يصبح أكثر فوضى، وهذا ما يتناغم مع الحدس أيضا (فكِّر في مطبخك أو مكتبك). أما بالنسبة للمعلومات، فمن الصعب وصف المقادير الفوضوية من تلك المرتبة.

يمكنك معرفة المزيد حول القانون الثاني للديناميكا الحرارية في مقالة الرياضيات في دقيقة: القانون الثاني للديناميكا الحرارية، حول تاريخ الإنتروبيا مـن هـنـا، وحول الإنتروبيا بشكل عام في هذه المقالات.


المقال الأصلي

Maths in a minute: Entropy

نُشِر بتاريخ: April 17, 2020

——————

ترجمة: مديحة حوري.

(تمت المراجعة يوم الخميس 2020/08/06)

نُشِرت في رياضيات في دقيقة | الوسوم: , , , , | أضف تعليق

حلول مسائل CodingBat بالبايثون

يعرض موقع CodingBat المجاني سلسلة من المسائل البرمجية وفق لغة البايثون والجافا والتي يتطلب حلُّها بناءَ خوارزميات بسيطة لكنها أساسية في سبيل تنمية المهارات القاعدية لكل مُبرمج.

 يوفر الموقع إمكانية وضع الحل مباشرة على نافذة مخصصة لذلك أسفل كلِ مسألة، أي لن تكون مُرغما على تحميل أي نوع من البرامج الخاصة بكتابة الكود (Code).

تعرفت على الموقع من خلال هذا الفيديو التعليمي للمبتدئين وقد أتممت حل جميع مسائله وفق لغة البايثون، وفي القائمة أدناه، سلسلة أكواد الخوارزميات التي اعتمدتها في حل كل مسألة.

Warmup-1
Warmup-2
String-1
List-1
Logic-1
Logic-2
String-2
List-2

مستوى المسائل من “بسيط” إلى “متوسط”. مع القليل من المساعدة المباشرة في الحل (المسائل التي تحمل العلامة H في الموقع) أو المساعدة غير المباشرة، الموجزة والإختيارية، لفهم قواعد المسألة ومن ثَمَ استنتاج الحل (من هــنــا).

لأولئك المحترفين، قد تبدو المسائل بسيطة جدا جدا (وهو الأمر الذي تُظهره جولة سريعة في الموقع)، لكن منظومة الخوارزميات المُعتمدة في حلِّـها أنيقة جدا جدا (وهو الأمر الذي لن تكتشفه إلا بالممارسة). [قد لا يكون الـCode الصحيح أنيقا كفاية !!]

نُشِرت في آل خوارزمـيـات | الوسوم: , , , , , | أضف تعليق