رياضيات في دقيقة: نموذج ويلز- رايلي

ما مخاطر الإصابة بمرض ينتقل عبر الهواء ؟ هناك العديد من النماذج الرياضية التي تصف سلوك الغازات والملوثات التي قد تنتقل عبرها. ومن بين أبرزها معادلة ويلز-رايلي، التي تقدر I العدد المتوقع للأشخاص الذين أصيبوا بالعدوى، عن طريق التواجد في غرفة بها أشخاص مُصابون بمرض ينتقل عبر الهواء:

تهوية أفضل؛ عدوى أقل

حيث S هو عدد الأشخاص المُعرضين للإصابة بهذا المرض في الغرفة. \Gamma (غاما) المعدل الإجمالي لانبعاث الجسيمات المُعدية من الأشخاص المُصابين في الغرفة، أما q فهو متوسط معدل التنفس للشخص الواحد، و t الفترة الزمنية التي يتقاسم فيها هؤلاء الأشخاص الغرفة. وأخيرا Q معدل تهوية الغرفة، أي معدل دخول الهواء النقي إليها.

تكشف المعادلة أن عدداً أكبر سيُصاب بالعدوى (أي أن I سيزيد) كلما طال مكوث هؤلاء الأشخاص في الغرفة (كلما زاد الزمن t ) أو زادت الجُسيمات المُعدية المنبعثة (كلما زادت \Gamma ). كما قد تنبعث المزيد من الجُسيمات المُعدية بسبب وجود المزيد من الأشخاص المصابين في الغرفة، أو لأن الأشخاص المُصابين -في حد ذاتهم- قد أصبحوا أكثر عدوى.

لحسن الحظ، أنَّه كلما كانت تهوية الغرفة أفضل (كلما زادت قيمة Q ) كلما كان عدد الأشخاص الذين قد تصيبهم العدوى أقل. رغم أنَّ معادلة ويلز-رايلي تفترض أنَّ التهوية Q مُوحّدة عبر الفضاء (وهو ما لا يحدث عادة في الواقع) إلا أنَّها يُمكن (إلى جانب العديد من الصيغ الرياضية الأخرى ذات الصلة) أن تشكل جزءاً من نماذج أكثر تعقيداً تساهم في وصف الواقع على نحو أكثر دقة.

يمكنك قراءة المزيد عن كيفية استخدام نموذج ويلز-رايلي مــن هــنــا أو هــنــا


المقال الأصلي

Maths in a minute: The Wells-Riley model

نُشِر بتاريخ: June 11, 2021

ترجمة: مديحة حوري. 

نُشِرت في رياضيات في دقيقة | الوسوم: , , , | أضف تعليق

رياضيات في دقيقة: العصبونات الاصطناعية

تبدو فكرة تقليد أو محاكاة الدماغ البشري، فكرة جيدة عند محاولة بناء ذكاءٍ اصطناعي؛ إن اللبنات الأساسية لأدمغتنا هي العصبونات: وهي خلايا عصبية قادرة على التواصل مع خلايا عصبية أخرى عبر وصلات تدعى المشابك.

يتكون العصبون من جسم، وهياكل شبيهة بالأشجار تدعى زوائد الشجرية (تغصّنات)، بالإضافة إلى ما يشبه الذيل ويدعى المحور (المحور العصبي). يستقبل العصبون إشارات كهربائية من عصبونات أخرى عبر زوائده الشجرية. بحيث إذا تجاوزت الإشارات التي يستقبلها عتبة معينة، فإن العصبون سيُطلق نبضة: أي سيُرسل إشارة إلى عصبونات أخرى عبر محوره العصبي. يُطلق العصبون نبضةً تامةً أو لا يُطلق أبداً (لا يمكنه إطلاق نبضة جزئية) أي أنَّ استجابته هي استجابة الــ كُل أو لا شيء، 1 أو 0.

الهيكلُ النموذجي للعصبون ومكوناته

يحتوي الدماغ البشري على ما يُقارب 86 مليار عصبون وما بين 100 و 300 تريليون رابط بين هذه العصبونات. تعمل أدمغتنا من خلال النبضات التي تنتقل عبر هذه الشبكة الواسعة من العصبونات.

عندما يتحدث البشر عن العصبونات الاصطناعية فإنهم لا يقصدون أجساماً ماديةً ملموسةً، بل هياكل وبُـنيات رياضية تحاكي سلوك العصبونات الحقيقية، إلى حد ما. حيثُ يمكن تمثيل هذه الكائنات الرياضية في خوارزميات الحاسوب المُصممة لأداء جميع أنواع المهام المرتبطة بتشكيل شبكات عصبونية.

إذن؛ كيف يبدو العصبون الاصطناعي ؟ من الأمثلة البسيطة عنه البيرسيبترون، الذي استحدثه فرانك روزنبلات عام 1962. ويتكون من عقدة تتوافق مع جسم خلية عصبون حقيقي. يمكن للعقدة أن تستقبل عدداً من المُدخلات من العقد الأخرى، أو حتى من خارج الشبكة العصبونية التي تنتمي إليها. ويتم تمثيل كل مُدخل برقم. بحيث إذا كان عددُ المُدخلات n فيمكننا عندئذ أن نكتب X2 ، X1 ، X3 … إلخ للــ n مُدخل.

بمجرد وصول المدخلات إلى العقدة يتم دمجها لإعطاء رقم واحد. وأبسط طريقة للقيام بذلك تكون بأخذ جميع الــ n مُدخل (أي X3 ، X2 ، X1 وصولاً إلى Xn ) ثم ضرب كل مُدخل Xi بــ مُرجح ما Wi ومِن ثَمّ جمعُ جداء جميع المُدخلات والمرجحات للحصول على المجموع المُرجح (weighted sum) كالآتي:

w_{1} X_{1} + w_{2} X_{2} + ... + w_{n} X_{n}.

ضرب المُدخل بعدد موجب صغير يعني أن تأثير هذا المُدخل صغيرٌ في النتيجة النهائية (ذو أهمية ضئيلة) وضربه بعدد موجب كبير يعني أنَّ تأثيره كبير في النتيجة النهائية (ذو أهمية بالغة).

بيرسيبترون

إذا كان المجموع المرجح أكبر من عتبة ما C فإن البيرسيبترون سيُرجع الــ (قرار) 1

w_{1} X_{1} + w_{2} X_{2} + ... + w_{n} X_{n} - C > 0

وإلا فهو الــ (قرار) 0، إذا كان

w_{1} X_{1} + w_{2} X_{2} + ... + w_{n} X_{n} - C \leq 0

أي ما يُقابل إطلاق العصبون نبضةً تامةً أو ألاَّ يُطلق أبداً.

وعلى غرار مفهوم العصبون الاصطناعي؛ فإن شبكات العصبونات هذه يُمكنها تأدية المهام المُعقدة بشكل مذهل ــ بل إنها تستطيع أن “تتعلم” كيفية أداء هذه المهام بمفردها. لمعرفة المزيد، عليك قراءة مقال ما هو تعلم الآلة ؟


المقال الأصلي

Maths in a minute: Artificial neurons

نُشِر بتاريخ: July 8, 2021

ترجمة: مديحة حوري. [math.nights@gmail.com]

نُشِرت في رياضيات في دقيقة | الوسوم: , , , | أضف تعليق

رياضيات في دقيقة: ديناميكا الموائع الحسابية

لنفترض أنَّك تريدُ تصميم أسرع مركبة، هندسة صمّامِ قلبٍ بديلٍ، أو مُحاكاة تدفق الهواء في مبنى للحدّ من خطر الأمراض المُعدية. فالأمر يعتمد على ديناميكا الموائع، ما قد يُحيلُك إلى رياضيات صعبة جداً.

يتم وصف تدفق الموائع، سواء كانت هواءًا أو دمًا أو أي شيء آخر، بواسطة معادلات نافييه-ستوكس. يمكنك قراءة المزيد عن هذه المعادلات في مقال رياضيات في دقيقة: معادلات نافييه – ستوكس. لكن ستستوقفُك منذ الوهلة الأولى فكرةُ مدى صعوبة حلها.

حيث ρ هي كثافة الهواء، و uvw مركبات سرعة الهواء، E مقياس الطاقة الداخلية للهواء (ما يسمح لنا بحساب درجة حرارته) و p الضغط. معادلات نافييه-ستوكس

إذا كانت رغبتك استخدام هذه المعادلات لمحاكاة تدفق مائعٍ حول مركبة، صمّام قلب، أو مبنى، فعليك حلّها للسيناريو المُحدّد الخاص بك: أي أنك في حاجةٍ إلى صيغة رياضية تعطيك سرعة وضغط المائع عند كل نقطة في منظومتك. لكن العائق؛ أنَّه لا توجد حلول دقيقة لمعظم الأشكال العامة لمعادلات نافييه-ستوكس، والحلول الدقيقة الموجودة هي لمسائل مُبسطة غير مفيدة عمليا.

لحسن الحظ، فقد أصبح تطبيق ديناميكا الموائع في الواقع أمراً مُمكنًا بفضل ديناميكا الموائع الحسابية. كما أوضح بن إيفانز في مقالته Supersonic Bloodhound؛ عليك تفكيك المسألة إلى أجزاءٍ أصغر وأكثر سهولة ويُسراً، باستخدام طريقة تعرف باسم طريقة العناصر المنتهية. “في الأساس، يتم تقسيم المساحة المحيطة بالمركبة إلى تشكيلة هائلة من العناصر الصغيرة جدًا (100,000 مليون عنصر !!)، نُسَميها شبكة. ثم نعالج المسألة عنصرًا تلو الآخر، بحيث يُعطينا كل عنصرٍ تقريبا مُبسطا للحل، إلى أن نحصل – في نهاية المطاف – على الحل الكامل. ومن هذا الحل نحصل على كثافة، سرعة، درجة حرارة، وضغط الهواء في جميع النقاط المحيطة بالمركبة “.

شبكة لحل معادلات نافييه-ستوكس.

بمجرد أن استخدم إيفانز هذه الطريقة لحساب كيفية تغيّر الضغط على مركبةٍ أثناء تسارعها إلى أقصى سرعتها، تمكَّن من استخدام التكامل، لتلخيص تأثيرات هذا الضغط على المركبة وإيجاد مجموع القوى. “الإجراء مُشابه جدًا لقاعدة شبه المنحرف، التي تقدّر مساحة المنطقة الواقعة أسفل منحنى ما عن طريق تقريبها بشبه منحرف وحساب المساحة، ومن ثمَ جمع المساحات.”

كَــنتورات الضغط والانسيابية عبر Bloodhound SSC

بمكنك معرفة كيف ساعدت ديناميكا الموائع الحسابية إيفانز في الإجابة على أسئلة مثل مقدار السحب الذي قد تتعرض له سيارته الأسرع من الصوت، وما إذا كانت قادرة على البقاء مُلامسَةً للأرض في جميع السرعات، وكيف قاد ذلك عملية تصميم السيارة وخاصة شكلها الخارجي (في مقال Supersonic Bloodhound و هذا المقال). كما يمكنك معرفة المزيد حول كيفية استخدامها في مجالات مثل الهندسة الطبية الحيوية ومجالات أخرى للحفاظ على صحتنا.

تستند هذه المقالة على Supersonic Bloodhoud. بقلم بن إيفانز.


المقال الأصلي

Maths in a Minute: Computational fluid dynamics

نُشِر بتاريخ: June 11, 2021

ترجمة: مديحة حوري.

نُشِرت في رياضيات في دقيقة | الوسوم: , , , | أضف تعليق

رياضيات في دقيقة: القيمة التنبؤية الإيجابية

من المُتعارف عليه؛ أنَّ الاختبارات المستخدمة في التشخيص الطبي ليست دقيقة بنسبة 100٪. أي عندما تتلقى نتيجة اختبار إيجابية لمرض ما، فلا يزال هناك احتمال أنك غير مُصاب بالمرض نهائيا، بمعنى آخر، أن تكون إيجابية زائفة.

تُدعى احتمالية إصابتك الفعلية بالمرض عند تلقِّي نتيجة اختبار إيجابية بالقيمة التنبؤية الإيجابية للاختبار المعني. بحيث كلما زادت القيمة التنبؤية الإيجابية، زادت احتمالية إصابتك بالمرض فعليا.

من الواضح أن القيمة التنبؤية الإيجابية لاختبار ما تعتمد على مدى دقة الاختبار في حد ذاته. لكن من المثير للاهتمام؛ أن الأمر يعتمد أيضًا على عدد الأشخاص الذين يُعانون من هذا المرض. بحيث كلما زاد انتشار المرض (زاد تفشِّ المرض)، زادت القيمة التنبؤية الإيجابية.

ولتوضيح ذلك، تخيل أنَّ اختباراً ما يُحدد بشكل صحيح 80% من الأشخاص المصابين بالمرض، كما يُحدد بشكل صحيح 99.9% من الأشخاص غير المصابين به. (نفترض أن الاختبار يُعطي دائما نتيجة إيجابية أو سلبية كإجابة قاطعة). تخيل أيضاً أنَّ 2% من السكان يُعانون من المرض الذي صُمِمَ له هذا الاختبار.

وبالتالي، إذا كان عدد السكان يتألف من 100,000 شخص، فهذا يعني أن 2,000 منهم مُصابون بالمرض و98,000 غير مصابين به. بحيث إذا ما تم اختبار كل شخص، فمن بين 2,000 مُصاباً بالمرض، فإن 80% منهم سيتلقَّى -بشكل صحيح- نتيجة اختبار إيجابية، أي 1,600 مُصاباً. أما نتائج الـ 400 الباقبن، فستكون سلبيات زائفة. (أنظر المُخطط أدناه)

ومن بين الـ 98,000 غير المصابين بالمرض، فإن 99.9% سيتلقّون -بشكل صحيح- نتيجة اختبار سلبية، أي 97,902 شخصًا. أما نتائج الـ 98 الباقبن، فستكون إيجابيات زائفة.

هذا يعني أنَّ في إجمالي

1600 + 98 = 1698

شخصا قد تلقَّوا نتيجة اختبار إيجابية. لأجلِ نسبةٍ من

0.94 = \frac{1600}{1698}

تكون فيها نتيجة الاختبار صحيحة. فإن احتمالية أن يكون الشخص مُصابا فعليا بالمرض هي 0.94 أي 94%.

استمراراً مع نفس المثال؛ أنَّ اختباراً ما يُحدد بشكل صحيح 80% من الأشخاص المصابين بالمرض، كما يُحدد بشكل صحيح 99.9% من الأشخاص غير المصابين به. لنفترض الآن أن 0.2٪ فقط من السكان يعانون من المرض الذي صُمم له الاختبار. بحيث إذا كان عدد السكان يتألف من 100,000 شخصا، فهذا يعني أن 200 منهم يعانون من المرض و99,800 لا يعانون منه. بحيث إذا ما تم اختبار كل شخص، فمن بين الـ 200 مصابا بالمرض، سيتلقَّى 80٪ نتيجة اختبار إيجابية بشكل صحيح، أي ما يُعادل 160 شخصًا. أما نتائج الـ 40 الباقين فستكون سلبيات زائفة. (أنظر المُخطط أدناه)

ومن بين الـ 99,800 شخصا غير المصابين بالمرض، فإن 99.9% سيتلقّون -بشكل صحيح- نتيجة اختبار سلبية، أي 99,700 شخصًا. أما نتائج الـ 100 الباقين، فستكون إيجابيات زائفة.

هذا يعني أنَّ في إجمالي

160 + 100 = 260

شخصا قد تلقَّوا نتيجة اختبار إيجابية. لأجلِ نسبةٍ من

0.61 = \frac{160}{260}

تكون فيها نتيجة الاختبار صحيحة. فإن احتمالية أن يكون الشخص مُصابا فعليا بالمرض هي 0.61 أي 61%

خلاصة كل ما سبق، أنَّ القيمة التنبؤية الإيجابية [في هذا المثال] هي 94٪ بالنسبة لانتشار مقداره 2٪ ولكن بالنسبة لانتشار أقل (مقداره 0.2٪) فإن القيمة التنبؤية الإيجابية هي 61٪ فقط. يوضح هذا أنه كلما زاد انتشار المرض، زادت احتمالية أن تكون نتيجة الاختبار الإيجابية تعني إصابتك فعليا بالمرض.

هناك أيضًا مقدارٌ أخر يدعى القيمة التنبؤية السلبية: وهي احتمالية ألاَّ يكون الشخص الذي تلقَّى نتيجة اختبار سلبية مصابًا فعليا بالمرض. بالنسبة لاختبار ما، تعتمد هذه القيمة أيضًا على مدى انتشار المرض بين السكان، ولكن هذه المرة بالعكس. أي كلما زاد معدل الانتشار، انخفضت القيمة التنبؤية السلبية. [تُتركُ لك مسألة (تمرين) التحقق من مدى صحة ذلك]

يُمكنك قراءة المزيد في رياضيات في دقيقة: الإيجابيات الزائفة وفي هذا المقال.


المقال الأصلي

Maths in a minute: The positive predictive value

نُشِر بتاريخ: June 10, 2021

ترجمة: مديحة حوري.

نُشِرت في رياضيات في دقيقة | الوسوم: , , | 2 تعليقان

رياضيات في دقيقة: الخطوط المقاربة

تبدو نهايات بعض المُنحنيات بسيطة. كمثال على ذلك، لاحظ المُنحنى الأحمر أدناه، بالانتقال على طول المحور الأفقي للفواصل x يقترب المنحنى من الخط الأزرق الأفقي شيئا فشيئا. وبالانتقال على طول المحور العمودي للتراتيب y يقترب المنحنى من الخط الأزرق العمودي شيئا فشيئا كذلك.

تُسمى الخطوط الزرقاء الخطوط المُقاربة للمنحنى: تؤول المسافة بين المنحنى والخط المقارب إلى الصفر عندما تؤول قيم x أو y إلى اللانهاية.

تُعطى دالة المنحنى في المثال أعلاه كالآتي:

                 (1)                                 y = \frac{1}{x-2}+1                  

والخطَّين المقاربين بالمعادلتين:

y = 1 و x = 2

إنَّ معرفة الخطوط المقاربة لمنحنى ما أمرٌ بالغُ الأهمية. تخيَّل -مثلا- أن المنحنى أعلاه يُطلعك على قيمة مقدار ما (الأموال في حسابك البنكي؛ مثلا) لمُدة x شهر من الآن (حيث يتم تحديد x على طول محور الفواصل) ومِن ثمَّ فإنَّ الخط المقارب (وهو الخط الأزرق الأفقي y = 1) يُطلعنا أننا سنحظى بــما يُقارب 1 £ على المدى البعيد، عندما تؤول x إلى اللانهاية (على الرغم من صعوبة تحديد y المقابلة لقيمة مُعطاة x).

لا تبدو كل المنحنيات كخط مستقيم عندما تؤول x أو y إلى اللانهاية، لذلك ليس لدى جميع المنحنيات خطوط مقاربة. لكن في حال وُجدت، فيمكننا إيجاد الخطوط المقاربة بواسطة حساب نهايات الدالة (التي تصف المنحنى) عندما تؤول x أو y إلى اللانهاية. بتطبيق هذا على المثال أعلاه فإنَّ عبارة الخط المقارب الأفقي تساوي:

\lim_{x\rightarrow \infty }y=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{1}{x-2}+1=1

وبإعادة ترتيب العبارة (1) بدلالة y فإنّ عبارة الخط المقارب العمودي تساوي:

x = \frac{1}{y-1}+2

أي:

\lim_{y\rightarrow \infty }x=\lim_{y\rightarrow \infty }\frac{1}{y-1}+2=2

نأخذُك الآن إلى مثالٍ عن منحنٍ غريب جدًا وخط مقارب لا يقِّل غرابة عنه.

يُعطى المنحنى بمعادلة بارامترية أكثر تعقيدًا:

x=t+\frac{\cos (14t)}{t}, y=t+\frac{\sin(14t)}{t}, t> 0

الخط المقارب (للجزء المتعرج من المنحنى) عندما تؤول x إلى اللانهاية، هو الخط y = x

كل الشُكر لــ Guillaume Jacquenot لنشر هذا المثال على ويكيبيديا.

يُسلط -هذا المثال- الضوء مرة أخرى على مدى أهمية الخطوط المقاربة. حيث ليس من السهل تحديد القيمة الدقيقة لـ y المقابلة لقيمة مُعطاة x . لكن معرفة الخط المقارب يمنحنا تقديرًا جيدًا لـ y المقابلة لقيم كبيرة من x بحيث كلما كانت قيم x أكبر كُلما كان التقريب أفضل.


المقال الأصلي

Maths in a minute: Asymptotes

نُشِر بتاريخ: May 20, 2021

ترجمة: مديحة حوري.

نُشِرت في رياضيات في دقيقة | الوسوم: , | أضف تعليق

رياضيات في دقيقة: المتتالية اللوجستية

تُشتهر المتتالية اللوجستية لسببين: أنها تمنحنا طريقة للتنبؤ بكيفية نمو أو تقلص مُجتمع حيوانات ما عبر الزمن، كما تُـبيّن لنا سحر ظاهرة الفوضى الرياضية.

كم عدد هذه الأسماك الذي تتوقع الحصول عليه بعد شهر؟

تخيل أن لديك حوضا مائيا كبيرا بما يكفي ليتسّع لـ 100 سمكة جوبي، تلك الأسماك الصغيرة، الناعمة، الملونة والمُحِبة للتكاثر. والسؤال هو، كم عدد أسماك الجوبي الذي تتوقع الحصول عليه بعد شهر؟ 

سيعتمد الجواب، جزئيا، على عدد أسماك الجوبي الذي علينا البدءُ به. إذا كان العدد أقل من السعة القصوى (100 سمكة جوبي) بكثير، فمن المُرجح أن يتزايد العدد بعد شهر. نظرا لتوفر الغذاء والمساحة الكافية لجميع الأسماك. أما إذا كان العدد قريبا جدا من السعة القصوى، بحيث لا يتوفر للجميع ما يكفي من الطعام والمساحة، فمن المرجح أن يتناقص عدد الأسماك.

تأخذ المتتالية اللوجستية في عين الاعتبار فكرة أن النمو يعتمد على عدد الأسماك الذي علينا البدءُ به. لتكن x نسبة السعة القصوى لحوض الأسماك. ومنه، فإن x = \frac{1}{2} تعني في مثالنا وُجود 50 سمكة جوبي، و x = \frac{1}{4} تعني وُجود 25 جوبي، أما x = 0 فهي تعني ألا وجود للجوبي في الحوض، و x =1 فتعني السعة القصوى، أي وُجود 100 جوبي في الحوض.

وبالتالي فإن المتتالية اللوجستية تُشير إلى أن حجم المُجتمع (مُجتمع الأسماك) بعد شهر (كنسبة من السعة القصوى للحوض المائي) سيصبح:

rx(1-x)

يُشير r إلى مُعدل نمو المُجتمع، والذي يعتمد على عناصر مثل عدد مواليد الجوبي في الشهر وعدد الوفيات. (يٌمكنك معرفة المزيد عن هذه الصيغة من هــنــا)

كمثال على ذلك، إذا كان معدل النمو r = 0 ونسبة السعة القصوى لهذا الشهر x = 0.7 فإن المتتالية اللوجستية تُشير إلى أن النسبة بعد شهر ستصبح:

4\times 0.7(1-0.7) = 4\times 0.7\times 0.3 = 0.84

وبالتالي إذا كانت السعة القصوى 100 سمكة جوبي، فسيصبح العدد 84 جوبي بعد شهر.

لاحظ أنه؛ وعلى ضوء الصيغة أعلاه؛ فإنه يمكننا تقدير حجم مُجتمع الجوبي بعد شهر، وفي المستقبل أيضا. يمنحنا تطبيق الصيغة على نسبة أسماك الجوبي الحالية x نسبتها للشهر المُقبل، ويمنحنا تطبيق الصيغة مرة أخرى على تلك النسبة الجديدة، النسبة للشهرين المُقبلين. ثم تطبيقها مرة أخرى، النسبة للثلاثة أشهر المُقبلة، وهكذا دواليك.

على سبيل المثال، افترض أن معدل النمو r = 4 وأننا بدأنا بنسبة x = 0.7 من السعة القصوى. يُوضح الرسم البياني أدناه كيفية تغيُّـر حجم مُجتمع الأسماك، وفقا للصيغة اللوجستية، خلال الأشهر الخمسة الأولى. لاحظ أنّه في الشهر 3، عندما يصل حجم مُجتمع الجوبي إلى ما يُقاربُ السعة القصوى، فإن النسبة تنخفض إلى ما يُقارب الصفر في الشهر التالي. يتسبب الاكتظاظ في خسائر فادحة.

تنبؤات نسبة السعة القصوى على (المحور الرأسي) لأول 5 أشهر (المحور الأفقي) بالنسبة لـ r = 4 والنسبة الأولية x = 0.7.

نظريا، يمكننا الاستمرار على هذا المنوال، لتقدير حجم مُجتمع الأسماك في المستقبل البعيد جدا باستخدام المتتالية اللوجستية. ينطوي ذلك على الكثير من الحسابات، لذا فإن السؤال هو: إذا كان بإمكاننا استخلاص شيء أعم، دون الخوض في التفاصيل ؟

الإجابة هي” يُمكننا أحيانا “، يتوقف كل ذلك على قيمة معدل النمو r فقد اتضح أنه إذا كان r أصغر من 1، فإن معدل النمو أقل بكثير من أن يُحافظ على بقاء مُجتمع الجوبي، وسيكون مصيره الفناء في النهاية. يتحقق هذا مهما كان حجم المجتمع في البداية. حتى لو بدأنا بالسعة القصوى 100 جوبي (x = 1)، فلن يتبقى أيٌّ منها في النهاية. يمكنك ملاحظة ذلك في الأمثلة أدناه، حيث r = 0.9 . يُظهر الرسم البياني الأول تطور المجتمع إذا كانت قيمة النسبة الأولية x = 0.7 والثاني إذا كانت قيمتها x = 0.4.

تنبؤات نسبة السعة القصوى (المحور الرأسي) لأول 30 شهرًا (المحور الأفقي)، لـ r = 2، والنسبة الأولية x = 0.7 . سيكون مصير هذا المُجتمع الفناء في النهاية.

تنبؤات نسبة السعة القصوى (المحور الرأسي) لأول 30 شهرًا (المحور الأفقي)، لـ r = 2، والنسبة الأولية x = 0.4 . سيكون مصير هذا المُجتمع الفناء في النهاية.

تسير الأمور بشكل أفضل نوعا ما، إذا كان معدل النمو r ما بين 1 و 3. حيث لن يفنَ المُجتمع، ولكن سيستقر حول قيمة محددة في النهاية. يتحقق هذا أيضا مهما كان حجم المجتمع في البداية. يمكنك ملاحظة هذا في المثال أدناه، حيث r = 2 . يُظهر الرسم البياني الأول تطور المجتمع إذا كانت قيمة النسبة الأولية x = 0.4 والثاني إذا كانت قيمتها x = 0.6 (القيمة التي سيستقر عليها المُجتمع هي \frac{(r-1)}{r} في النهاية)

تنبؤات نسبة السعة القصوى (المحور الرأسي) لأول 30 شهرًا (المحور الأفقي)، لـ r = 2، والنسبة الأولية x = 0.4 . تستقر النسبة في النهاية.

تنبؤات نسبة السعة القصوى (المحور الرأسي) لأول 30 شهرًا (المحور الأفقي)، لـ r = 2، والنسبة الأولية x = 0.6 . تستقر النسبة في النهاية.

عندما تتعاظم r إلى 3، فستصبح نسبة السعة القصوى غير مُستقرة حول قيمة واحدة محددة. لكن سلوكها سيظل قابلا للتنبؤ تماما: فبدلا من التركُّز عند حجم محدد، سيتزايد حجم مُجتمع الجوبي ويتناقص بشكل دوري حول عددٍ من القيم المختلفة. يتحقق هذا أيضا مهما كان حجم المجتمع x في البداية (يمكنك معرفة المزيد عن هذا السلوك الدوري مــن هــنــا).

يمكنك ملاحظة هذا في المثال أدناه، حيث r = 3.5 . يُظهر الرسم البياني الأول تطور المجتمع إذا كانت قيمة النسبة الأولية x = 0.6 والثاني إذا كانت قيمتها x = 0.3

تنبؤات نسبة السعة القصوى (المحور الرأسي) لأول 30 شهرًا (المحور الأفقي)، بالنسبة لـ r = 3.5 والنسبة الأولية x = 0.6. في النهاية، يستقر حجم المجتمع في نمط دوري، يتراوح بين أربع قيم مختلفة (تظهر بألوان مختلفة).

تنبؤات نسبة السعة القصوى (المحور الرأسي) لأول 30 شهرًا (المحور الأفقي)، بالنسبة لـ r = 3.5 والنسبة الأولية x = 0.3. في النهاية، يستقر حجم المجتمع في نمط دوري، يتراوح بين أربع قيم مختلفة (تظهر بألوان مختلفة).

إن سلوك مُجتمع الجوبي، حسب تقدير المتتالية اللوجستية، قابل تماما للتنبؤ إلى الآن: فقد استقر في نمط يمكن التنبؤ به، ولم يعتمد هذا النمط على قيمة x الابتدائية. ومع ذلك، فإن كل هذا سينهار بمجرد أن يقترب معدل النمو من قيمة مُعينة، قريبة من 3.56995.

بالنسبة لمعظم قيم r عند قيمة 3.56995 المشئومة أو بعدها؛ قد لا يستقر حجم المُجتمع في نمط قابل للتنبؤ أبدا، لكن الأسوأ: أن تؤدي قيمتان مختلفتان للبداية x إلى تنبؤات متباينة تماما للمستقبل (مهما كانت القيمتان متقاربتان جدا جدا).

يمكنك ملاحظة هذا في المثال أدناه، حيث r = 4 . يُظهر الرسم البياني الأول تطور المجتمع إذا كانت قيمة النسبة الأولية x = 0.6 والثاني إذا كانت قيمتها x = 0.62 . على الرغم من أن القيمتين مُتقاربتان جدا، إلا أن حجم مُجتمع الجوبي يتطور بشكل مُتباين تماما في المستقبل.

تنبؤات نسبة السعة القصوى (المحور الرأسي) لأول 30 شهرًا (المحور الأفقي)، بالنسبة لـ r = 4 والنسبة الأولية x = 0.6.

تنبؤات نسبة السعة القصوى (المحور الرأسي) لأول 30 شهرًا (المحور الأفقي)، بالنسبة لـ r = 4 والنسبة الأولية x = 0.62. على الرغم من أن هذه القيمة قريبة جدًا من نسبة البداية أعلاه والبالغة 0.6، إلا أن حجم مُجتمع الجوبي يتطور بشكل مختلف تماما.

مما سبق، يمكن أن تؤدي قيم البداية المختلفة إلى نتائج متباينة تماما في المستقبل، مما يجعل من إمكانية التنبؤ أمرا صعبا للغاية. بحيث إذا أخطأت في حساب تعداد المُجتمع في البداية (مثلا: لأن سمكة جوبي ما كانت مختبئةً خلف الحوض المائي بحيث لم تلحظها ومن ثَم لم تُضفها إلى قيمة x الابتدائية) فسيكون تنبؤك عديم الفائدة.

تُعرف هذه الظاهرة بالاعتماد الحساس على الظروف الأولية أو تأثير الفراشة. التأثير هو السمة المميزة للفوضى الرياضية (يمكنك الحصول على تعريف رياضي دقيق مــن هــنـا).

لا يَظهر الاعتماد الحساس على الظروف الأولية في المتتالية اللوجستية فحسب، بل في العديد من الصيغ الرياضية الأخرى أيضا، مثل تلك المُستخدمة في التنبؤ بالطقس. وهذا ما يجعل من مسألة التنبؤ بالعديد من أنظمة الحياة في واقعنا المُعاش، أمرا صعبا للغاية. إن ما يجعل المتتالية اللوجستية مميزة؛ أنها تعبير رياضي بسيط نسبيا. أي يمكن للفوضى أن تنتج حتى عندما لا يكون النظام الأساسي معقدا.

أخيرا، ينبغي أن نُشير أنه بالنسبة للمتتالية اللوجستية: لا تؤدي جميع قيم r التي تتجاوز 3.56995 إلى عرض يُظهر الفوضى. حيث تتواجد بعض النطاقات المعزولة لقيم r التي تصبح من أجلها النتائج قابلة للتنبؤ مرة أخرى. تُسمى هذه النطاقات جزر الاستقرار.

يمكنك قراءة ومعرفة المزيد عن الفوضى (الشواش) في مقالات المجلة من هــنــا


المقال الأصلي

Maths in a minute: The logistic map

نُشِر بتاريخ: January 26, 2021

——————

ترجمة: مديحة حوري.

نُشِرت في رياضيات في دقيقة | الوسوم: , , , , | أضف تعليق

رياضيات في دقيقة: زمر دائرية

المقالة حول مفهوم كائنات مجردة تُدعى الزُمر. في حال كنت تجهلها، فما عليك سوى الاطلاع على شرحٍ مختصرٍ لها في مقالة الرياضيات في ثلاث دقائق: الزُمَر.

بعض المقادير مُستديرة. مثل مدار الساعة: إذا بدأنا من الساعة 12 وأضفنا ساعة واحدة فسنحصل على 1، بإضافة ساعة أخرى سنحصل على 2، وهكذا دواليك، إلى أن نعود من حيث بدأنا بعد اثني عشر إضافة.

يمكننا أيضا أن نتصور الأمر وكأنه تدويرٌ لمُجسم ساعة عبر اثني عشر جزءً من الدائرة: تناوبٌ واحد ينتقل من 12 إلى 1، تناوبٌ آخر ينتقل من 1 إلى 2، وهكذا دواليك، إلى أن نعود من حيث بدأنا بعد اثني عشر تناوب.

لدينا مجموعة من اثني عشر مقداراً في الحالتين: إثني عشر رقما، أو إثني عشر مُناوبة (التناوب عبر \frac{1}{12} من الدائرة، \frac{2}{12} من الدائرة، \frac{3}{12} من الدائرة، وهكذا). كما لدينا طريقةٌ لدمج مقدارٍ بآخر للحصول على ثالثٍ: جمع رقمين، أو إتباعُ تناوبٍ بآخر. مع طريقة مُميزة للغاية تُتيح لنا توليد جميع المقادير الأخرى: يمكننا الحصول على أي رقم من الأرقام الإثني عشر من الـ 1 عن طريق تكرار إضافة رقم 1، وبالمثل، فإن تكرار التناوب خلال الإثني عشر جزءً من الدائرة يُعطينا جميع المُتناوبات الأخرى في مجموعتنا.

تعطي الساعة مثالًا جيدًا عن زمرة دائرية

تُدعى زمرة؛ كل مجموعة من العناصر، مزودة بعملية ثنائية تجمع عنصرين لتعطينا عنصرا ثالثا، وفق قواعد معينة. (يمكنك معرفة المزيد عن هذه القواعد من هنا) وإذا اشتملت زمرة على عنصر خاص يمكنه (من خلال التطبيق المتكرر للعملية الثنائية) توليد جميع العناصر الأخرى في الزمرة، فإن الزمرة تدعى زمرة دائرية.

تتواجد زمر دائرية وفق جميع الأحجام. فعلى سبيل المثال، يؤدي التناوب عبر نصف دائرة (180 درجة) إلى توليد زمرة دائرية من الحجم 2: ما عليك إلا القيام بالتناوب مرتين للعودة من حيث بدأت. وبالمثل، فإن التناوب عبر \frac{1}{1,000,000}  من الدائرة يُولِّد زمرة دائرية من الحجم 1,000,000. بشكل عام، فإن التناوب عبر \frac{1}{n} من الدائرة، حيث n هو أيُ عدد صحيح موجب، يولد زمرة دائرية من الرتبة n

هل تتواجد زمرٌ لا نهائية أيضا؟ يمكننا محاولة إنشاء واحدة بأخذ الرقم 1 وبدلا من تصَّوره ليكون جزءً من مدار ساعة مُستديرة، سنتصوره ليكون الرقم 1 على خط الأعداد. وتكرار إضافة الـ 1 للحصول على عدد لا نهائي من الأعداد الصحيحة. إذن هل تُشكِّل الأعداد الصحيحة الموجبة زُمرة لا نهائية تمَّ توليدها بواسطة الـ 1 ؟

الجواب لا. هذا لأن الأعداد الصحيحة الموجبة لا تُشكّل زمرةً من الأساس. فحسب تعريف الزمرة، فإن الزمرة يجب أن تحتوي على عنصر مُحايد، وأن يتوفر لكل عنصر آخر عنصرا مُعاكِسا. بالنسبة للأعداد الصحيحة، العنصر المُحايد هو الـ 0، ومُعاكس كل عنصر آخر هو رقمه السالب. لذا؛ للحصول على زمرة؛ لا بُد من تضمينها – إضافةً إلى الأعداد الصحيحة الموجبة – الـ 0 والأعداد الصحيحة السالبة.

وبالتالي فإن الأعداد الصحيحة هي زُمرةٌ لا نهائية تمَّ توليدها بواسطة الــ 1 (بمساعدة مُعاكسه 1-). بدءً من 1 و (1-) يمكننا الحصول على أي عدد صحيح آخر عن طريق تكرار إضافة الــ 1 أو (1-).

هذا التعريف العام هو التعريف المُعتمد لزمرة دائرية: هي بُنية مُجردة يُمكن إنشاؤها من عنصر مُفرد ومُعاكسه باستخدام عملية ثنائية (مثل الإضافة أو تركيب التناوب). لاحِظ أن في الزمر المحدودة؛ يتطابق التعريفان؛ لأن مُعاكس عنصر التوليد يمكن إنشاؤه من العنصر المُولِّد في حد ذاته. فمثلا؛ بالنسبة للـ 12 رقما في مدار الساعة، فإن العنصر المُحايد هو 12: إذا أضفنا 12 إلى أي رقم في هذه الزمرة فسيظل الرقم دون تغيير. مُعاكس 1 هو 11 لأن 1 + 11 = 12. ونظرًا لأنه يمكننا الحصول على الرقم 1 إلى 11 بتكرار إضافة الـ 1 فهذا يعني أن 1 يُولِّد مُعاكسه وبالتالي فهو كافٍ لإعطائنا الزمرة كاملة.


المقال الأصلي

Maths in a minute: Cyclic groups

نُشِر بتاريخ: February 1, 2021

——————

ترجمة: مديحة حوري.

نُشِرت في رياضيات في دقيقة | الوسوم: , , | أضف تعليق

رياضيات في دقيقة: تمثيل الزمر

المقالة حول مفهوم كائنات مجردة تُدعى الزُمر. في حال كنت تجهل معناها، فما عليك سوى الاطلاع على هذا الشرح المختصر في مقالة الرياضيات في ثلاث دقائق: الزُمَر.

أشرنا في مقالة الزمر السابقة (المُشار إليها أعلاه) إلى مثالين لزمرة. الأول مأخوذٌ من نظام التوقيت ذو تنسيق 12 ساعة. وهنا تتكون الزمرة من الأرقام 1 إلى 12 مع عملية إضافة مودولو 12، أي عند إتمام مدار الساعة مرة واحدة، وعوضا عن الاستمرار في العدِّ 13، 14، 15، الخ، فسنُعيد العدَّ من البداية مرة اخرى، أي 1، 2، 3، الخ.

المثال الثاني مأخوذٌ من مضلع-12 منتظم (شكل في المستوى ذو 12 ضلعا لها نفس الطول، و12 زاوية داخلية بنفس القياس- الصورة على اليمين-). التناوب أو الدوران حول مركز المضلع-12 المنتظم عبر زوايا 1/12 أو 2/12 أو 3/12 من الدائرة، الخ، حتى الدوران عبر دائرة كاملة، يُحافظ على المضلع -12 دون تغيير لذا فهي تماثلات للمضلع -12. تشكل هذه التماثلات التناوبية أيضا زمرة. عملية الجمع بين عنصرين من عناصر الزمرة هنا هي ببساطة اجراء تناوب واحد تلو الاخر.

ليس من الصعب ملاحظة أن المثالين السابقين متشابهين تماما. كلاهما يتكون من اثني عشر عنصرا وبالامكان إقرانُ عنصرٍ واحدٍ من زمرة مع عنصر واحد بالضبط من الزمرة الأخرى والعكس صحيح: الرقم 1 يمكن أن يقترن بــ 1/12، الرقم 2 بــ 2/12، وهكذا.

تُشكل مجموعة تماثلات كائن ما؛ زمرة. مصدر الصورة

هذه التقابلات الفردية بين عناصر الزمرتين تحترم العمليات على الزمر. فمثلا، جمع الرقمين 2 و 5 يعطيك 7 وجمع 2/12 و 5/12 ينتج عنه 7/12. أي أن الزمرتين تميلا الى أن تكونا متساوية الشكل.

قد يُصبح الحديث فوضويا أو مُعقدا نوعا ما؛ عند دراسة الزمر على أنها كائنات مجردة (أي لا ترتبط بمثال معين مثل مدار الساعة أو المضلع-12) لذا سيكون من الجيد الاتفاق على وصفها باستخدام نوع واحد فقط من المقادير الرياضية. ولحسن الحظ فقد اتضح أنه يمكن وصفها جميعها باستخدام المصفوفات.

كمثال على ذلك، اذا وضعت المضلع -12 في نظام إحداثيات يقع مركزه في النقطة (0,0) فيمكن كتابة التناوب في اتجاه عقارب الساعة خلال 1/12 من الدائرة كمصفوفة:

\[ \left( \begin{array}{cc}cos(\pi /6) & sin(\pi /6) \\ -sin(\pi /6) & cos(\pi /6)\end{array} \right), \]

حيث تقاس الزوايا بالراديان. وبالمثل، يمكن كتابة كل عنصر آخر في الزمرة كمصفوفة. يمكن تمثيل الزُمر متساوية الشكل بنفس مجموعة المصفوفات.

تدور نظرية التمثيل حول دراسة الزمر عن طريق تمثيلها كمجموعات من المصفوفات. لا يمنحنا هذا لغة موحدة للحديث عن الزمر فحسب، بل يُسهّل أيضا طريقة فهمنا لها، ذلك أن المصفوفات مقادير يُتقنها علماء الرياضيات جيدا.


المقال الأصلي

Maths in a minute: Representing groups

نُشِر بتاريخ: February 1, 2021

——————

ترجمة: مديحة حوري.

نُشِرت في رياضيات في دقيقة | الوسوم: , , , | أضف تعليق

رياضيات في دقيقة: الأعداد المثلثية

العدد المثلثي؛ هو عددٌ يمكن تمثيله بنمطِ نقاطٍ مرتبةٍ ضمن مثلث متساوي الأضلاع؛ وفق عدد متساوٍ من النقاط في كل ضلع.

مثال:

العدد المثلثي الأول هو الــ 1، الثاني 3، الثالث 6، الرابع 10، والخامس 15، وهكذا دواليك…

يمكننا ملاحظة أنَّ باستطاعتنا إنشاء كل مثلث من المثلث السابق له مع إضافة صفٍ من النقاط إلى القاعدة؛ التي اُضيف لها نقطة واحدة مقارنة بالقاعدة التي تسبقها. مما يعني أن n العدد المثلثي T_{n} يساوي:

T_{n} = 1+2+3+...+n

هناك أيضًا طريقة أخرى لحساب n العدد المثلثي. خُـذ نسختين من النمط النقطي لعدد مثلثي n ورتِّبهما بحيث يشكلان نمطا نقطيا مستطيلا.

لهذا النمط المستطيل n نقطة في الضلع الأقصر، و n+1 في الضلع الأطول. مما يعني أن للنمط المستطيل ما مجموعُه n(n+1) نقطة. وبما أن النمط النقطي المثلثي الأصلي يمثل بالضبط نصف النمط المستطيل، فإن n العدد المثلثي T_{n} يساوي:

T_{n}=\frac{n(n+1)}{2}

وبهذا فقد أثبتنا صيغة جمع n من الأعداد الطبيعية، كالآتي:

1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}

للأعداد المثلثية الكثير من المزايا. فمثلا، مجموع عددين مثلثيين متتاليين هو عدد مُربع. يمكنك التحقق من هذا بترتيب نمطين نقطيين لعددين مثلثيين n و (n+1) لتشكيل مربع له (n+1) نقطة في كل ضلع:

يمكنك التحقق من هذا أيضا باستخدام  صيغتي عددين مثلثيين متتاليين T_{n} و T_{n+1} كالآتي:

T_{n}+T_{n+1}=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n+1)(n+2)}{2}=\frac{(n+1)(2n+2)}{2}=(n+1)^{2}

علاوة على ذلك، فإن الأعداد المثلثية المتناوبة (1، 6، 15، …) هي أعداد مُسدسية أيضًا (أعداد مكونة من نمط نقطي سداسي) وكل عدد مثالي زوجي هو عدد مثلثي.

تظهر الأعداد المثلثية في حياتنا اليومية أيضًا. فمثلا، يتطلب إنشاء شبكة مكونة من n من أجهزة الكمبيوتر التي يتم فيها توصيل كل جهاز كمبيوتر بآخر ما مقداره T_{n-1} من التوصيلات.


المقال الأصلي

Maths in a minute: Triangular numbers

نُشِر بتاريخ: November 24, 2020

——————

ترجمة: مديحة حوري.

نُشِرت في رياضيات في دقيقة | الوسوم: , , | أضف تعليق

مختصر تحليل بيانات كوفيد-19 في الجزائر ومقارنة: الجزائر والبلدان العربية

تُعد جائحة كوفيد-19 في الجزائر جزءًا من الجائحة العالمية لمرض فيروس كورونا 2019 (COVID-19). وقد حاولت في هذا المشروع [التقرير التقني]؛ استخدام معظم ما تعلمته طوال 6 أسابيع في هذه الدورة العملية؛ تحليل البيانات بالبايثون: من الصفر إلى باندا؛ لتحليل بيانات كوفيد-19 في بلدي الجزائر ومقارنته بالبلدان العربية؛ للخروج بنتائج قد تكون مفيدة يوما ما.

المشروع الأصلي كاملا على منصة Jovian (مــن هــنــا) وعلى منصة GitHub (مــن هــنــا).

====================

المشروع عبارة عن تحليل بيانات كوفيد-19 في الجزائر ومقارنة؛ حالات الإصابة والوفيات المؤكدة؛ إحصائيات يومية وشهرية من جانفي إلى سبتمبر 2020؛ في الجزائر وولاياتها ثم مقارنتها بالبلدان العربية؛ وقد استخدمت في ذلك مكتبات numpy, pandas, matplotlib, seaborn ومُختصره ما يلي:

بالنظر إلى إطار البيانات أعلاه نلاحظ: أن الملف يوفر احصائيات يومية لـكوفيد-19 في الجزائر، ضمن ثلاث أعمدة هي التاريخ، حالات [الإصابة] الجديدة، والوفيات الجديدة. وذلك لمدة 275 يومًا: من 31 ديسمبر 2019 إلى 30 سبتمبر 2020.

تاريخ ظهور أول حالة إصابة مؤكدة بكوفيد-19 كان في 26 فيفري 2020. (وكانت لأجنبي وافد إلى الجزائر من إيطاليا).

تاريخ أول حالة وفاة بسبب كوفيد-19 كان في 13 مارس 2020.

التواريخ  الـ 10 الأولى التي سُجّل فيها أعلى عدد من حالات الإصابة المؤكدة، كانت في شهر جويلية. وكان 25 جويلية 2020 هو اليوم الذي سُجلت فيه أعلى قيمة (675) لعدد حالات الإصابة الجديدة على الإطلاق.

التواريخ الـ 10 الأولى التي سُجّل فيها أعلى عدد من الوفيات، كانت في شهر أفريل وكان 04 أفريل 2020 هو اليوم الذي سُجّلت فيه أعلى قيمة (42) لعدد الوفيات الجديدة على الإطلاق.

إلى غاية 30 سبتمبر 2020. بلغ العدد الإجمالي في الجزائر، لحالات الإصابة المؤكدة 51368 أي بنسبة 96.7% وعدد الوفيات 1726 أي بنسبة 03.3%.

– حالات الإصابة المؤكدة الجديدة اليومية في الجزائر. إلى غاية 30 سبتمبر 2020.

كان عدد حالات الإصابة منخفضًا، ثم ارتفع تدريجيًا، ثم انخفض قليلاً، ثم ارتفع فجأة ليصل إلى الحد الأقصى، ثم انخفض تدريجياً. وقد شهد موجتين من الانتشار: الأولى كانت فيها سرعة الانتشار متوسطة والثانية كانت فيها سرعة الانتشار سريعة جدا. تقع معظم حالات الإصابة الجديدة ضمن نطاق أقل من 200 حالة إصابة في اليوم.

– حالات الوفيات الجديدة اليومية في الجزائر. إلى غاية 30 سبتمبر 2020.

كان عدد الوفيات منخفضًا، ثم ارتفع فجأة إلى الحد الأقصى، ثم بدأ في الانخفاض تدريجيًا، ثم بدأ يتذبذب في نطاق أقل من 15. تقع معظم الوفيات الجديدة ضمن نطاق أقل من 15 حالة وفاة في اليوم.

بالمقارنة بين حالات الإصابة الجديدة والوفيات الجديدة نلاحظ أن عدد الوفيات ضئيل جدا مقارنة بالعدد الكبير جدا للحالات وهو مؤشر جيد يؤكد تماثل معظم المصابين للشفاء.

– حالات الإصابة الجديدة شهريا في الجزائر. إلى غاية 30 سبتمبر 2020.

نلاحظ أن معظم حالات الإصابة في فصل الصيف: جويلية – أوت.

– حالات الوفيات الجديدة شهريا في الجزائر. إلى غاية 30 سبتمبر 2020.

نلاحظ أن معظم حالات الوفيات في فصل الصيف: من أفريل إلى أوت.

– مقارنة بين الإصابات والوفيات الجديدة، شهريا في الجزائر. إلى غاية 30 سبتمبر 2020.

مما نلاحظه أن شهر جويلية سجّل أعلى عدد إصابات: 12823 وأعلى عدد وفيات: 257.

– مجموع حالات الإصابة المؤكدة حسب الولايات في الجزائر. إلى غاية 02 أكتوبر 2020.

الولايات الـ 10 الأولى حسب مجموع حالات الإصابة المؤكدة. إلى غاية 02 أكتوبر 2020.

– مجموع الوفيات حسب الولايات في الجزائر. إلى غاية 02 أكتوبر 2020.

الولايات الـ 10 الأولى حسب مجموع الوفيات. إلى غاية 02 أكتوبر 2020.

مما نلاحظه أن كوفيد-19 قد انتشر عبر كافة ولايات الجزائر.

– إجمالي حالات الإصابة المؤكدة في البلدان العربية. إلى غاية 18 سبتمبر 2020.

– إجمالي الوفيات في البلدان العربية. إلى غاية 18 سبتمبر 2020.

مما نلاحظه أن كوفيد-19 قد انتشر عبر كافة البلدان العربية، لكن بنسب متفاوتة جدا.

====================

المصادر

نُشِرت في آل خوارزمـيـات | الوسوم: , , , , , , | أضف تعليق