رياضيات في دقيقة: تمثيل الزمر

المقالة حول مفهوم كائنات مجردة تُدعى الزُمر. في حال كنت تجهل معناها، فما عليك سوى الاطلاع على هذا الشرح المختصر في مقالة الرياضيات في ثلاث دقائق: الزُمَر.

أشرنا في مقالة الزمر السابقة (المُشار إليها أعلاه) إلى مثالين لزمرة. الأول مأخوذٌ من نظام التوقيت ذو تنسيق 12 ساعة. وهنا تتكون الزمرة من الأرقام 1 إلى 12 مع عملية إضافة مودولو 12، أي عند إتمام مدار الساعة مرة واحدة، وعوضا عن الاستمرار في العدِّ 13، 14، 15، الخ، فسنُعيد العدَّ من البداية مرة اخرى، أي 1، 2، 3، الخ.

المثال الثاني مأخوذٌ من مضلع-12 منتظم (شكل في المستوى ذو 12 ضلعا لها نفس الطول، و12 زاوية داخلية بنفس القياس- الصورة على اليمين-). التناوب أو الدوران حول مركز المضلع-12 المنتظم عبر زوايا 1/12 أو 2/12 أو 3/12 من الدائرة، الخ، حتى الدوران عبر دائرة كاملة، يُحافظ على المضلع -12 دون تغيير لذا فهي تماثلات للمضلع -12. تشكل هذه التماثلات التناوبية أيضا زمرة. عملية الجمع بين عنصرين من عناصر الزمرة هنا هي ببساطة اجراء تناوب واحد تلو الاخر.

ليس من الصعب ملاحظة أن المثالين السابقين متشابهين تماما. كلاهما يتكون من اثني عشر عنصرا وبالامكان إقرانُ عنصرٍ واحدٍ من زمرة مع عنصر واحد بالضبط من الزمرة الأخرى والعكس صحيح: الرقم 1 يمكن أن يقترن بــ 1/12، الرقم 2 بــ 2/12، وهكذا.

تُشكل مجموعة تماثلات كائن ما؛ زمرة. مصدر الصورة

هذه التقابلات الفردية بين عناصر الزمرتين تحترم العمليات على الزمر. فمثلا، جمع الرقمين 2 و 5 يعطيك 7 وجمع 2/12 و 5/12 ينتج عنه 7/12. أي أن الزمرتين تميلا الى أن تكونا متساوية الشكل.

قد يُصبح الحديث فوضويا أو مُعقدا نوعا ما؛ عند دراسة الزمر على أنها كائنات مجردة (أي لا ترتبط بمثال معين مثل مدار الساعة أو المضلع-12) لذا سيكون من الجيد الاتفاق على وصفها باستخدام نوع واحد فقط من المقادير الرياضية. ولحسن الحظ فقد اتضح أنه يمكن وصفها جميعها باستخدام المصفوفات.

كمثال على ذلك، اذا وضعت المضلع -12 في نظام إحداثيات يقع مركزه في النقطة (0,0) فيمكن كتابة التناوب في اتجاه عقارب الساعة خلال 1/12 من الدائرة كمصفوفة:

\[ \left( \begin{array}{cc}cos(\pi /6) & sin(\pi /6) \\ -sin(\pi /6) & cos(\pi /6)\end{array} \right), \]

حيث تقاس الزوايا بالراديان. وبالمثل، يمكن كتابة كل عنصر آخر في الزمرة كمصفوفة. يمكن تمثيل الزُمر متساوية الشكل بنفس مجموعة المصفوفات.

تدور نظرية التمثيل حول دراسة الزمر عن طريق تمثيلها كمجموعات من المصفوفات. لا يمنحنا هذا لغة موحدة للحديث عن الزمر فحسب، بل يُسهّل أيضا طريقة فهمنا لها، ذلك أن المصفوفات مقادير يُتقنها علماء الرياضيات جيدا.


المقال الأصلي

Maths in a minute: Representing groups

نُشِر بتاريخ: February 1, 2021

——————

ترجمة: مديحة حوري.

نُشِرت في رياضيات في دقيقة | الوسوم: , , , | أضف تعليق

كلمات الأنشودة الألمانية: أخبرني أين تقف/ Sag mir wo du stehst

تعرفتُ -لأول مرة- على الأنشودة من خلال منشورات أستاذي العزيز على الفايسبوك، استوقفتني أبياتها القصيرة وعباراتها الصارمة، فاخترت أن انشر ترجمة بسيطة لها.

Sag mir wo du stehst

أخبرني أين تقف، أخبرني أين تقف.
أخبرني أين أنت وفي أي طريق تذهب.

للخلف أو للأمَام، عليك أن تتخذ قرارك.
يمضي الوقت شيئا فشيئا.
لا يمكنك البقاء مُستمتعا معنا ومعهم،
لأنك إذا دخلت في دوائر فستبقى في الخلف.

حين تُفصح، قد تتعرى،
أنَّك لم تُفكر قطُّ إلى أين تذهب.
لكن عبر الصمت فقط، تتضاءل عظمة المرء.
أصارحك، ستكون حياتك بلا معنى.

من حقنا التعرف عليك.
أقنعة الإيماء عديمة الفائدة أيضًا.
أريد مُناداتك باسمك الحقيقي
لذلك أرني وجهك الحقيقي.

كلمات: هارتموت كونيغ Hartmut König

نُشِرت في هـنا وهناك/ متفرقات | الوسوم: | أضف تعليق

رياضيات في دقيقة: الأعداد المثلثية

العدد المثلثي؛ هو عددٌ يمكن تمثيله بنمطِ نقاطٍ مرتبةٍ ضمن مثلث متساوي الأضلاع؛ وفق عدد متساوٍ من النقاط في كل ضلع.

مثال:

العدد المثلثي الأول هو الــ 1، الثاني 3، الثالث 6، الرابع 10، والخامس 15، وهكذا دواليك…

يمكننا ملاحظة أنَّ باستطاعتنا إنشاء كل مثلث من المثلث السابق له مع إضافة صفٍ من النقاط إلى القاعدة؛ التي اُضيف لها نقطة واحدة مقارنة بالقاعدة التي تسبقها. مما يعني أن n العدد المثلثي T_{n} يساوي:

T_{n} = 1+2+3+...+n

هناك أيضًا طريقة أخرى لحساب n العدد المثلثي. خُـذ نسختين من النمط النقطي لعدد مثلثي n ورتِّبهما بحيث يشكلان نمطا نقطيا مستطيلا.

لهذا النمط المستطيل n نقطة في الضلع الأقصر، و n+1 في الضلع الأطول. مما يعني أن للنمط المستطيل ما مجموعُه n(n+1) نقطة. وبما أن النمط النقطي المثلثي الأصلي يمثل بالضبط نصف النمط المستطيل، فإن n العدد المثلثي T_{n} يساوي:

T_{n}=\frac{n(n+1)}{2}

وبهذا فقد أثبتنا صيغة جمع n من الأعداد الطبيعية، كالآتي:

1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}

للأعداد المثلثية الكثير من المزايا. فمثلا، مجموع عددين مثلثيين متتاليين هو عدد مُربع. يمكنك التحقق من هذا بترتيب نمطين نقطيين لعددين مثلثيين n و (n+1) لتشكيل مربع له (n+1) نقطة في كل ضلع:

يمكنك التحقق من هذا أيضا باستخدام  صيغتي عددين مثلثيين متتاليين T_{n} و T_{n+1} كالآتي:

T_{n}+T_{n+1}=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n+1)(n+2)}{2}=\frac{(n+1)(2n+2)}{2}=(n+1)^{2}

علاوة على ذلك، فإن الأعداد المثلثية المتناوبة (1، 6، 15، …) هي أعداد مُسدسية أيضًا (أعداد مكونة من نمط نقطي سداسي) وكل عدد مثالي زوجي هو عدد مثلثي.

تظهر الأعداد المثلثية في حياتنا اليومية أيضًا. فمثلا، يتطلب إنشاء شبكة مكونة من n من أجهزة الكمبيوتر التي يتم فيها توصيل كل جهاز كمبيوتر بآخر ما مقداره T_{n-1} من التوصيلات.


المقال الأصلي

Maths in a minute: Triangular numbers

نُشِر بتاريخ: November 24, 2020

——————

ترجمة: مديحة حوري.

نُشِرت في رياضيات في دقيقة | الوسوم: , , | أضف تعليق

مختصر تحليل بيانات كوفيد-19 في الجزائر ومقارنة: الجزائر والبلدان العربية

تُعد جائحة كوفيد-19 في الجزائر جزءًا من الجائحة العالمية لمرض فيروس كورونا 2019 (COVID-19). وقد حاولت في هذا المشروع [التقرير التقني]؛ استخدام معظم ما تعلمته طوال 6 أسابيع في هذه الدورة العملية؛ تحليل البيانات بالبايثون: من الصفر إلى باندا؛ لتحليل بيانات كوفيد-19 في بلدي الجزائر ومقارنته بالبلدان العربية؛ للخروج بنتائج قد تكون مفيدة يوما ما.

المشروع الأصلي كاملا على منصة Jovian (مــن هــنــا) وعلى منصة GitHub (مــن هــنــا).

====================

المشروع عبارة عن تحليل بيانات كوفيد-19 في الجزائر ومقارنة؛ حالات الإصابة والوفيات المؤكدة؛ إحصائيات يومية وشهرية من جانفي إلى سبتمبر 2020؛ في الجزائر وولاياتها ثم مقارنتها بالبلدان العربية؛ وقد استخدمت في ذلك مكتبات numpy, pandas, matplotlib, seaborn ومُختصره ما يلي:

بالنظر إلى إطار البيانات أعلاه نلاحظ: أن الملف يوفر احصائيات يومية لـكوفيد-19 في الجزائر، ضمن ثلاث أعمدة هي التاريخ، حالات [الإصابة] الجديدة، والوفيات الجديدة. وذلك لمدة 275 يومًا: من 31 ديسمبر 2019 إلى 30 سبتمبر 2020.

تاريخ ظهور أول حالة إصابة مؤكدة بكوفيد-19 كان في 26 فيفري 2020. (وكانت لأجنبي وافد إلى الجزائر من إيطاليا).

تاريخ أول حالة وفاة بسبب كوفيد-19 كان في 13 مارس 2020.

التواريخ  الـ 10 الأولى التي سُجّل فيها أعلى عدد من حالات الإصابة المؤكدة، كانت في شهر جويلية. وكان 25 جويلية 2020 هو اليوم الذي سُجلت فيه أعلى قيمة (675) لعدد حالات الإصابة الجديدة على الإطلاق.

التواريخ الـ 10 الأولى التي سُجّل فيها أعلى عدد من الوفيات، كانت في شهر أفريل وكان 04 أفريل 2020 هو اليوم الذي سُجّلت فيه أعلى قيمة (42) لعدد الوفيات الجديدة على الإطلاق.

إلى غاية 30 سبتمبر 2020. بلغ العدد الإجمالي في الجزائر، لحالات الإصابة المؤكدة 51368 أي بنسبة 96.7% وعدد الوفيات 1726 أي بنسبة 03.3%.

– حالات الإصابة المؤكدة الجديدة اليومية في الجزائر. إلى غاية 30 سبتمبر 2020.

كان عدد حالات الإصابة منخفضًا، ثم ارتفع تدريجيًا، ثم انخفض قليلاً، ثم ارتفع فجأة ليصل إلى الحد الأقصى، ثم انخفض تدريجياً. وقد شهد موجتين من الانتشار: الأولى كانت فيها سرعة الانتشار متوسطة والثانية كانت فيها سرعة الانتشار سريعة جدا. تقع معظم حالات الإصابة الجديدة ضمن نطاق أقل من 200 حالة إصابة في اليوم.

– حالات الوفيات الجديدة اليومية في الجزائر. إلى غاية 30 سبتمبر 2020.

كان عدد الوفيات منخفضًا، ثم ارتفع فجأة إلى الحد الأقصى، ثم بدأ في الانخفاض تدريجيًا، ثم بدأ يتذبذب في نطاق أقل من 15. تقع معظم الوفيات الجديدة ضمن نطاق أقل من 15 حالة وفاة في اليوم.

بالمقارنة بين حالات الإصابة الجديدة والوفيات الجديدة نلاحظ أن عدد الوفيات ضئيل جدا مقارنة بالعدد الكبير جدا للحالات وهو مؤشر جيد يؤكد تماثل معظم المصابين للشفاء.

– حالات الإصابة الجديدة شهريا في الجزائر. إلى غاية 30 سبتمبر 2020.

نلاحظ أن معظم حالات الإصابة في فصل الصيف: جويلية – أوت.

– حالات الوفيات الجديدة شهريا في الجزائر. إلى غاية 30 سبتمبر 2020.

نلاحظ أن معظم حالات الوفيات في فصل الصيف: من أفريل إلى أوت.

– مقارنة بين الإصابات والوفيات الجديدة، شهريا في الجزائر. إلى غاية 30 سبتمبر 2020.

مما نلاحظه أن شهر جويلية سجّل أعلى عدد إصابات: 12823 وأعلى عدد وفيات: 257.

– مجموع حالات الإصابة المؤكدة حسب الولايات في الجزائر. إلى غاية 02 أكتوبر 2020.

الولايات الـ 10 الأولى حسب مجموع حالات الإصابة المؤكدة. إلى غاية 02 أكتوبر 2020.

– مجموع الوفيات حسب الولايات في الجزائر. إلى غاية 02 أكتوبر 2020.

الولايات الـ 10 الأولى حسب مجموع الوفيات. إلى غاية 02 أكتوبر 2020.

مما نلاحظه أن كوفيد-19 قد انتشر عبر كافة ولايات الجزائر.

– إجمالي حالات الإصابة المؤكدة في البلدان العربية. إلى غاية 18 سبتمبر 2020.

– إجمالي الوفيات في البلدان العربية. إلى غاية 18 سبتمبر 2020.

مما نلاحظه أن كوفيد-19 قد انتشر عبر كافة البلدان العربية، لكن بنسب متفاوتة جدا.

====================

المصادر

نُشِرت في آل خوارزمـيـات | الوسوم: , , , , , , | أضف تعليق

رياضيات في دقيقة: متتاليات ن_ فيبوناتشي

متتالية فيبوناتشي نسبة إلى عالم الرياضيات ليوناردو فيبوناتشي

متتالية فيبوناتشي، هي متتالية تبدأ بالعددين 0 و 1 ويساوي فيها الحدُّ مجموع الحدّين السابقين له إلى المالانهاية:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,…

 متتالية 3_ فيبوناتشي مختلفة نوعا ما. تبدأ بالأعداد 0 و 0 ثم 1، ويساوي فيها الحدّ مجموع الحدود الثلاثة السابقة له إلى المالانهاية:

0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274,…

 متتالية 4_ فيبوناتشي تبدأ بالأعداد 0 و 0 و 0 ثم 1، ويساوي فيها الحدّ مجموع الحدود الأربعة السابقة له إلى المالانهاية:

0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208,…

 يمكنك ملاحظة كيفية تعميم ذلك بشكل أوسع: تبدأ متتالية ن_ فيبوناتشي بـ (ن – 1) أصفار متبوعة بـ 1، ويساوي فيها الحدّ مجموع الحدود “ن” السابقة له.

تُطابق متتالية فيبوناتشي التقليدية متتالية 2_ فيبوناتشي. وتتكون متتالية 1_ فيبوناتشي بالكامل من العدد 1: … ,1 ,1 ,1 ,1

ثوابت ن_ فيبوناتشي

لمتتالية فيبوناتشي خاصية مميزة، إذا ما قسَّمنا كل حدٍّ على الحدِّ الذي يسبقه، فسنحصل على متتالية من النسب:

\frac{1}{1}, \frac{2}{1}, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}, \frac{8}{5}, \frac{13}{8}, \frac{21}{13}, \frac{34}{21}, \frac{55}{34}, \frac{89}{55}, \frac{144}{89},...

(هذا بتجاهل النسبة بين الحدّين الأوليين لأن القسمة على 0 غير معرفة). تتقارب متتالية النسب هذه من قيمة حدّية، هي النسبة الذهبية الشهيرة:

\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1.61803398875...

يمكنك قراءة المزيد عن من هـــنا.

هل لمتتاليات ن_ فيبوناتشي خاصية مماثلة لهذه؟ الإجابة “نعم”، وتدعى الحدود الموافقة لها ثوابت ن_ فيبوناتشي. وفيما يلي ثوابت ن_ فيبوناتشي الخمسة الأولى:

ثابت ن_ فيبوناتشي

ن

1

1

…1.61803

2

…1.83928

3

…1.92756

4

…1.96595

5

في الواقع، من الممكن توضيح أنَّه لأي عدد طبيعي “ن” فإن ثابت ن_ فيبوناتشي الموافق له هو حل المعادلة:

     (1)                                    \ x + \frac{1}{x^ N}=2

للمعادلة دائما حل واحد أكبر من 1. وهو ثابت ن_ فيبوناتشي الموافق.

متتالية فيبوناتشي اللانهائية

يمكننا الحديث حتى عن متتالية فيبوناتشي اللانهائية، حيث “ن” تساوي المالانهاية. وتبدأ بعدد لانهائي من الأصفار، متبوعاً بـ 1. الحدُّ اللاحق هو مجموع العدد اللانهائي من الأصفار الابتدائية و 1، مما يعطينا 1. الحدود اللاحقة كالآتي:

(مجموع العدد اللانهائي من الأصفار الابتدائية) +1 + 1 = 0 + 1 + 1 = 2

(مجموع العدد اللانهائي من الأصفار الابتدائية) +1 + 1 + 2 = 0 + 1 + 1 + 2 = 4

(مجموع العدد اللانهائي من الأصفار الابتدائية) +1 + 1 + 2  + 4 = 0 + 1 + 1 + 2  + 4 = 8

 بالاستمرار على هذا النحو سنلاحظ أن متتالية فيبوناتشي اللانهائية هي المتتالية التي تبدأ بعدد لانهائي من الأصفار متبوعاً بقوى العدد 2.

ماذا عن متتالية النِسَب (نِسب الحدود المتعاقبة) لفيبوناتشي اللانهائية؟ هل لها قيمة حدّية أيضا؟ نظرا لأن القسمة على 0 غير مُعرفة، فسنتخطى العدد اللانهائي من الأصفار في البداية وننظر إلى النِسب بين الحدود المتعاقبة للمتتالية، سنلاحظ أن الحدود المتعاقبة هي دائما من الشكل 2^{k-1} و 2^{k}  لعدد طبيعي k ومنه فإن قسمة حدٍّ ما على الذي قبله تعطينا \frac{2^{k}}{2^{k-1}} = 2 مهما يكن k وبالتالي فإن متتالية نِسب الحدود المتعاقبة (بدءًا، بعد الأصفار الابتدائية) تتكون بالكامل من العدد 2، مما يعني أن قيمتها الحدّية، أو ما قد يُدعى ثابت فيبوناتشي اللانهائي، يساوي 2.

يتوافق هذا مع المعادلة (1) أعلاه. لنفترض أنَّ N في هذه المعادلة تؤول إلى مالانهاية. ومن ثم، فطالما x > 1  (وهو ما يمكننا افتراضه بما أننا ندرس حلولا أكبر من 1)، فإن الحدَّ \ \frac{1}{x^ N} في المعادلة يؤول إلى 0. مما يعني أن حل المعادلة الأكبر من 1 يؤول إلى 2.

أخيرا، فإن من المثير للاهتمام أن تعلم أن فيبوناتشي قد توصل إلى المتتالية أثناء تفكيره في مجتمع افتراضي من الأرانب (يمكنك معرفة المزيد من هـــــنـا). وقد تم اقترح أن لمتتالية 3_ فيبوناتشي صلة بعالم الحيوان، حسب ما جاء في كتاب تشارلز داروينأصل الأنواع “.


المقال الأصلي

Maths in a minute: N-bonacci sequences

نُشِر بتاريخ: September 14, 2020

——————

ترجمة: مديحة حوري.

نُشِرت في رياضيات في دقيقة | الوسوم: , , , , , | أضف تعليق

سلسلة الرياضيات في دقيقة، الجزء الثاني.pdf

 

سلسلة دورية على مجلة Plus+ التابعة لجامعة كامبريدج

ترجمة: مديحة حوري

 2020

عدد المقالات: 45  | عدد الصفحات: 130

——————————————————————

رابط التحميل: اضــغــط هـــنــا

——————————————————————

الكتاب مُتاح للجميع للتحميل، النشر، المشاركة والتقييم.

خالص تحياتي

نُشِرت في مختارات رياضيات مترجمة, رياضيات في دقيقة | الوسوم: , , , , , , | أضف تعليق

رياضيات في ثلاث دقائق: إسقاط الخرائط

هل هناك العديد من الطرق لإسقاط الأرض المستديرة على خريطة مُسطحة !؟

إنَّ أول ما يتبادر إلى الذهن عند التفكير في الأرض من الناحية الجغرافية “إسقاط مركاتور” الذي ابتكره العالم الجغرافي ورسام الخرائط الفلمنكي جيراردوس مركاتور خلال القرن 16.

إسقاط مركاتور. صورة: Daniel R. Strebe, CC BY-SA 3.0

تكمن الفكرة الأساسية لهذا الإسقاط في إحاطة الكرة الأرضية (أو أفضل مُجسم لها) باسطوانة، بحيث يتم التلامس بين الكرة الأرضية والاسطوانة عند خط الاستواء. ومن ثَم إسقاط كافة سمات ونقاط الأرض عليها، عن طريق اختيار نقطة ما x ورسم الخط الذي يربطها بمركز الكرة، ثم تمديد هذا الخط إلى أن يقطع الأسطوانة عند نقطة ما y (النقطة y هي مسقط النقطة x). باستخدام هذه التقنية يمكننا تتبع مخطط القارات والبلدان على الأسطوانة بعد فتحها وبسطها لتشكل خريطة مستطيلة مُسطحة.

إسقاط أسطواني. تخيل وجود مصباح كهربائي في مركز الأرض. ستُـلقي القارات والجزر بظلالها على الأسطوانة، بحيث يمكن بعد ذلك فتحها وبسطها لتشكل ورقة مُسطحة. الصورة من NOAA

ومع ذلك، فإن مشكلة تنشأ كلما اقتربنا من القطبين، حيث تُصبح الإسقاطات أعلى وأعلى الأسطونة كلما اقتربنا من القطب الشمالي وتتباعد أسفل الأسطوانة كلما اقتربنا من القطب الجنوبي. أي أن إسقاط الكرة الأرضية بأكملها يتطلب أسطوانة تمتد إلى المالانهاية مع عدم ظهور القطبان في حد ذاتهما نهائيا: فالخط الذي يربطهما بمركز الكرة الأرضية موازٍ لجوانب الأسطوانة وبالتالي لن يقطعها أبدا.

يُشير هذا الرسم البياني إلى أنَّ إسقاط النقاط القريبة من القطب الشمالي (النقطتان على اليمين، مثلا) أعلى بكثير من النقاط القريبة من خط الاستواء (النقطتان على اليسار، مثلا). ويشير أيضًا إلى التشوه الذي يحدث كلما اقتربنا من القطبين

يُعد إسقاط مركاتور أحد أشكال هذا الإسقاط الأسطواني، بحيث يضمن تمثيل الزوايا بأمانة على الخريطة (راجع هذا الرابط لمزيد من التفاصيل حول رياضيات الإسقاط). ومع ذلك فإنَّ مشكلة القطبين تظل سارية، ولهذا السبب لا يتضمن إسقاط مركاتور القطبين والمجال المُحيط بهما.

نكمن الميزة العظيمة لإسقاط مركاتور أنّ تحديد اتجاه البوصلة يتوافق مع الخطوط المستقيمة على الخريطة. ما يعني أنَّك في حال أردت الإبحار من A إلى B فالأمر لا يتطلب سوى رسم خط مستقيم بينهما على الخريطة. حيث تُطلعك الزاوية التي يصنعها الخط مع خط الاستواء (أو أي خط من خطوط العرض) باتجاهك شمالا أو جنوبا وتُطلعك علاقتها بخط غرينتش باتجاهك شرقا أو غربا. ومن ثَمَّ تختار وِجهتك بناءًا على هذه المُعطيات مع الاستعانة بالبوصلة كمُرشد دائم إلى حين بلوغ وِجهتك بأمان.

تشوية غير عادل

إنَّ من عيوب إسقاط مركاتور أنه كنتيجة مباشرة لتقنية الإسقاط الأسطواني، فإن المسافات القريبة من القطبين تبدو مُمتدة، مما يجعل الأماكن القريبة من القطبين تبدو أكبر بكثير مما هي عليه في الواقع. إذ وفقًا للإسقاط القياسي، فإنَّ غرينلاند تبدو أكبر بكثير من إفريقيا، في حين أن إفريقيا في الحقيقة أكبر بأكثر من 14 مرة من غرينلاند !! إنَّ لهذا الأمر عواقب وخيمة على المستوى السياسي، حيث تقع أوروبا وأمريكا الشمالية على مسافة مُعتبرةٍ شمال خط الاستواء مُستفيدةً بذلك من التشويه، فتبدو المساحات هائلة في الشمال مقابل كون مساحة المناطق الاستوائية والمدارية أقل من حجمها الحقيقي بكثير، أي إضافة تمييزٍ خرائطي إلى التمييز العنصري والثقافي والاقتصادي.

عموما، لا يخلو أيُّ إسقاط للكرة الأرضية على خريطة ثنائية الأبعاد من عيبٍ (لن يكون دقيقًا بنسبة 100٪)  لذلك فإنَّ الطريقة الوحيدة لتمثيل سطح الكرة الأرضية على ورقة مُسطحة تكمن في إحداث تشويه ما. يمكنك التأكُّد من ذلك بنفسك عن طريق تقشير برتقالة والحرص على الحفاظ على قشرتها ضمن قطعة واحدة. إنه وبمجرد التخلص من القشرة، فإنها ستحافظ تلقائيا على شكلها المستدير. يحيث ستؤدي أيُّ محاولة لتسطيح القشرة إلى قطعها أو تشويهها.

مثال آخر على التشويه (الذي لا مناص منه) يأتينا من الإسقاط المُجسم: تخيل التماسَّ بين ورقة مُسطحة والقطب الشمالي بحيث تكون الورقة في وضعٍ شاقولي على المحور الشمالي-الجنوبي للكرة الأرضية.

إسقاط مُجسم لكرة على مستوى ثنائي الأبعاد.

يمكنك الآن رسم خطوط مستقيمة مُمتدة من القطب الجنوبي عبر أي نقطة x على الأرض، وبالتالي فإنَّ مسقط النقطة x هو النقطة y موضع تقاطع الخط المستقيم بالورقة المُسطحة. يحافظ نموذج الإسقاط هذا على الزوايا، ويُعد رائعًا لاستكشاف القطب الشمالي، لكنه يصبح مشوَّهًا أكثر فأكثر كلما اقتربنا من القطب الجنوبي. (يمكنك أيضًا جعل الورقة تلامس الكرة الأرضية في أي نقطة أخرى للحصول على خريطة المنطقة المحيطة بتلك النقطة.)

إسقاط مُجسم. صورة: Strebe, CC BY-SA 3.0

هناك أيضًا إسقاطات أخرى تحاول تقليل التشويه. من بينها إسقاط وينكل الثلاثي. وهو متوسط الاحداثيات لإسقاطين آخرين، إسقاط أيتوف والإسقاط متساوي المستطيلات، بهدف تقليل التشوه في المسافة والاتجاه والمساحة.

إسقاط وينكل الثلاثي. صورة: Strebe, CC BY-SA 3.0

من الإسقاطات الأخرى المعروفة أيضا، والتي تُستخدم غالبًا على النقيض من إسقاط مركاتور، إسقاط غال-بيترز، الذي يمثل الحجم النسبي للمناطق بأمانة (ستندهش من مدى ضآلة مساحة أوروبا حقًا) لكنه يُشوه الأشكال بشكل كبير. إذ بالقرب من خط الاستواء، تُضغَط الأشكال أفقيًا وتمتد عموديًا، وبحدث العكس بالقرب من القطبين. فتبدو القارات التي يجتازها خط الاستواء طويلة ونحيفة، وهذا هو سبب تشبيه هذا الإسقاط بحبل غسيلٍ تم تعليق البلدان عليه لتجف.

إسقاط غال-بيترز. صورة:  Strebe, CC BY-SA 3.0

بالعودة إلى إسقاط مركاتور الذي بدأنا به، فإن من المُمتع إحاطة الكرة الأرضية باسطوانة لكن بطريقة مختلفة هذه المرة، أي تدوير الأسطوانة بمقدار 90 درجة، مثلا.

يُمكِّنك ذلك من الحصول على إسقاط مركاتور المستعرض، الذي يتضمن كِلا القطبين ويجعل العالم يبدو مختلفًا تمامًا عما اعتدنا عليه.

إسقاط مركاتور المستعرض

كانت هذه مجرد جولة بسيطة وقصيرة جدا في عالم إسقاط الخرائط الرائع. الذي يتطلب منا استكشافًا أعمق. في حال كان لديك إسقاط مفضل ترغب مشاركته، فما عليك إلا مُراسلة المجلة على البريد الإلكتروني plus@maths.cam.ac.uk


المقال الأصلي

Maths in three minutes: Map projections

نُشِر بتاريخ: August 11, 2020

——————

ترجمة: مديحة حوري.

نُشِرت في رياضيات في دقيقة | الوسوم: , , , , , , , | أضف تعليق

القليل من المُتعة مع الأعداد الأولية بالبايثون

 

لُعبة بسيطة مُقتبسةٌ من كتاب أتمتة الأشياء المٌملة بالبايثون مع القليل من التحديثات البرمجية.

في كل مرة، سيختار البرنامج عددا أوليا ما بين 1 و100 بشكل عشوائي.
على اللاعب العثور على ذلك العدد في ظرف 5 محاولات فقط.
الهدف هو التسلية وحفظ الأعداد الأولية الأقل من 100 بطريقة مُمتعة.

رابط اللعبة  مــن هــنــا  وحظ موفق للجميع.

نُشِرت في آل خوارزمـيـات | الوسوم: , , , | أضف تعليق

القليل من المرح: تشغيل خوارزمية رياضية تاريخية بالبايثون

لمحة عامة: يتعلق الأمر ببرنامج بسيط ذو كفاءة في تحديد اليوم الموافق لأي تاريخٍ قديم أو حديث أو في المستقبل. ورغم أنَّ البايثون قد جعل من هذا الأمر مجرد إجراءٍ روتيني سهل التنفيذ (مثال) إلا أنَّ استكشاف مقدار التعقيد الذي قد تُخفيه بعض خوارزميات التأريخ الأنيقة (مثال) لأمرٌ يستحق العناء.

الاسم: برنامج تحديد اليوم الموافق لأي تاريخٍ قديم أو حديث أو في المستقبل وفق لغة البايثون.

الكود المُستخدم: قُمت بتحميله على موقع GitHub وعلى موقع repl.it تحت الاسم المُختصر DayName.

تشغيل البرنامج: في حال عدم توفُّر قارئ أكوادٍ على جهازك بامكانك نسخ الكود من أحد الموقعين أعلاه ولصقه على هذا القارئ المفتوح المصدر لاستظهاره مباشرة، ثم اتباع الخطوات في المثال التوضيحي بالصور أدناه للحصول على النتيجة.

للمزيد من المرح: للخوارزمية عيبٌ بسيط واحدٌ له علاقة باعادة ترقيم الأشهر من خلال تأخير ترتيب شهري جانفي وفيفري في الرزنامة، لذلك إن كنت قد اخترت تاريخا يقع في شهر جانفي(11) أو فيفري(12) فإنّ البرنامج سيؤخر يوما أو يُقدّمه ثم سيعود ويصحّح نفسه بنفسه للوصول إلى “اليوم الموافق” الصحيح في النهاية. لذلك ستُصادف نتائج مُسَلية من مِثل (الأحد. عذرا، بل السبت) أو (الثلاثاء. عذرا، بل الأحد. بل هو الإثنين) سببها رغبتي في أن يقوم الكود بتصحيح خطئه مع الحفاظ على بساطته وطابعه المرِح. فالغرض استكشاف مدى تعقيد الخوارزمية التاريخية لا القضاء على عيوبها.

بعض التفاصيل البرمجية: الثغرة: تقع في شهري جانفي (11) وفيفري (12) فقط. وقد قُمت بمعالجتها لكل التواريخ في القرن الــ20 (cc==19) والقرن الــ21 (cc==20) على التوالي. الميزة: بالنسبة للأشهر الأخرى (من مارس إلى ديسمبر) فالبرنامج صالح لكل التواريخ القديمة والحديثة والمستقبلية على اختلافها.

مثال توضيحي بالصور: تحديد اليوم الموافق لاندلاع الثورة الجزائرية (1 نوفمبر 1954)

الخطوة.1- لصق الكود على القارئ المفتوح المصدر والضغط على زر التشغيل Run.

الخطوة.2- كتابة رقم اليوم: 1 ثم الضغط على الزر ENTER على جهاز الكمبيوتر.

الخطوة.3- كتابة رقم الشهر (وفقا للترقيم المُعطى) وهو: 9 ثم الضغط على ENTER.

الخطوة.4- كتابة رقم السنة: 1954 ثم الضغط على ENTER. والحصول مباشرة على اليوم الموافق: الإثنين.

لمعاينة تاريخٍ آخر، ما عليك سوى الضغط على زر التشغيل Run ليبدأ البرنامج من جديد.

وفي الأخير. أتمنى أن تستمتعوا بتجربة البرنامج على تواريخ قديمة تتعلق بأوطانكم… أو أخرى حديثة تتعلق بتاريخ ميلادكم، اهتماماتكم… أو مُستقبلية تتعلق بمواعيدكم، مناسباتكم…وأن تستعينوا بهذه الرزنامة للتأكد من النتائج أو لاستكشاف عثراتٍ أتمنى موافاتي بها هنا في التعليقات أو على بريدي الإلكتروني (math.nights@gmail.com) وشكرا مُقدما.

 

نُشِرت في آل خوارزمـيـات | الوسوم: , , , | أضف تعليق

حلول مسائل Harmash في الخوارزميات وهياكل البيانات بالبايثون

يعرض موقع  Harmash  دورة تمارين في الخوارزميات وهياكل البيانات، بهدف تطوير القدرات البرمجية لكل مهتم بالمجال. تتكون الدورة من سلسلة من التمارين المتقدمة والمتنوعة (مع الحل وبخمس لغات برمجة) وذلك على شكل تحدِّيات كالآتي:

  1. رسم أشكال هندسية: 10 تحديات (50 تمرينا)
  2. التعامل مع الأرقام والنصوص: 03 تحديات (15 تمرينا)
  3. إجراء عمليات حسابية: 09 تحديات (45 تمرينا)
  4. التعامل مع المصفوفات: 06 تحديات (30 تمرينا)
  5. تراكيب البيانات: تحدييْن اثنين (في شكل مشروعين كاملين)
  6. حساب وقت الخوارزميات: شرح مفصّل، أمثلة تطبيقية ومصادر مفيدة.

اجتزت الدورة وأتممت حل جميع تحدّياتها وفق لغة البايثون، ولأن الحلول التي اعتمدتها كانت من “مختلفة تماما” إلى”مختلفة نوعا ما” عن نظيرتها في الموقع، فقد آثرت – من باب حفظها ثم مشاركتها والإثراء –  نسخها على حساب GitHub الخاص بالمدونة.

في الرابط مـــن هـــنــا سلسلة أكواد الخوارزميات التي اعتمدتها في حل كل مسألة.

(استثناء: في تراكيب البيانات، نسخت نموذج الحل المُعتمد في الموقع للمشروع الأول والثاني مع إجراء بعض التعديلات السطحية فقط، نظرا لبساطته ومرونته في التعامل مع جميع المعطيات وتنفيذ المطلوب بكفاءة.)

[صـحّـه عـيـدكـم و تـقـبَّـل الله صيامكم. كل أسبوع وأنتم من المُبرمِـجين لا المُبرمَـجين]

نُشِرت في آل خوارزمـيـات | الوسوم: , , , , , , | أضف تعليق