رياضيات في دقيقة: المتتالية اللوجستية

تُشتهر المتتالية اللوجستية لسببين: أنها تمنحنا طريقة للتنبؤ بكيفية نمو أو تقلص مُجتمع حيوانات ما عبر الزمن، كما تُـبيّن لنا سحر ظاهرة الفوضى الرياضية.

كم عدد هذه الأسماك الذي تتوقع الحصول عليه بعد شهر؟

تخيل أن لديك حوضا مائيا كبيرا بما يكفي ليتسّع لـ 100 سمكة جوبي، تلك الأسماك الصغيرة، الناعمة، الملونة والمُحِبة للتكاثر. والسؤال هو، كم عدد أسماك الجوبي الذي تتوقع الحصول عليه بعد شهر؟ 

سيعتمد الجواب، جزئيا، على عدد أسماك الجوبي الذي علينا البدءُ به. إذا كان العدد أقل من السعة القصوى (100 سمكة جوبي) بكثير، فمن المُرجح أن يتزايد العدد بعد شهر. نظرا لتوفر الغذاء والمساحة الكافية لجميع الأسماك. أما إذا كان العدد قريبا جدا من السعة القصوى، بحيث لا يتوفر للجميع ما يكفي من الطعام والمساحة، فمن المرجح أن يتناقص عدد الأسماك.

تأخذ المتتالية اللوجستية في عين الاعتبار فكرة أن النمو يعتمد على عدد الأسماك الذي علينا البدءُ به. لتكن x نسبة السعة القصوى لحوض الأسماك. ومنه، فإن x = \frac{1}{2} تعني في مثالنا وُجود 50 سمكة جوبي، و x = \frac{1}{4} تعني وُجود 25 جوبي، أما x = 0 فهي تعني ألا وجود للجوبي في الحوض، و x =1 فتعني السعة القصوى، أي وُجود 100 جوبي في الحوض.

وبالتالي فإن المتتالية اللوجستية تُشير إلى أن حجم المُجتمع (مُجتمع الأسماك) بعد شهر (كنسبة من السعة القصوى للحوض المائي) سيصبح:

rx(1-x)

يُشير r إلى مُعدل نمو المُجتمع، والذي يعتمد على عناصر مثل عدد مواليد الجوبي في الشهر وعدد الوفيات. (يٌمكنك معرفة المزيد عن هذه الصيغة من هــنــا)

كمثال على ذلك، إذا كان معدل النمو r = 0 ونسبة السعة القصوى لهذا الشهر x = 0.7 فإن المتتالية اللوجستية تُشير إلى أن النسبة بعد شهر ستصبح:

4\times 0.7(1-0.7) = 4\times 0.7\times 0.3 = 0.84

وبالتالي إذا كانت السعة القصوى 100 سمكة جوبي، فسيصبح العدد 84 جوبي بعد شهر.

لاحظ أنه؛ وعلى ضوء الصيغة أعلاه؛ فإنه يمكننا تقدير حجم مُجتمع الجوبي بعد شهر، وفي المستقبل أيضا. يمنحنا تطبيق الصيغة على نسبة أسماك الجوبي الحالية x نسبتها للشهر المُقبل، ويمنحنا تطبيق الصيغة مرة أخرى على تلك النسبة الجديدة، النسبة للشهرين المُقبلين. ثم تطبيقها مرة أخرى، النسبة للثلاثة أشهر المُقبلة، وهكذا دواليك.

على سبيل المثال، افترض أن معدل النمو r = 4 وأننا بدأنا بنسبة x = 0.7 من السعة القصوى. يُوضح الرسم البياني أدناه كيفية تغيُّـر حجم مُجتمع الأسماك، وفقا للصيغة اللوجستية، خلال الأشهر الخمسة الأولى. لاحظ أنّه في الشهر 3، عندما يصل حجم مُجتمع الجوبي إلى ما يُقاربُ السعة القصوى، فإن النسبة تنخفض إلى ما يُقارب الصفر في الشهر التالي. يتسبب الاكتظاظ في خسائر فادحة.

تنبؤات نسبة السعة القصوى على (المحور الرأسي) لأول 5 أشهر (المحور الأفقي) بالنسبة لـ r = 4 والنسبة الأولية x = 0.7.

نظريا، يمكننا الاستمرار على هذا المنوال، لتقدير حجم مُجتمع الأسماك في المستقبل البعيد جدا باستخدام المتتالية اللوجستية. ينطوي ذلك على الكثير من الحسابات، لذا فإن السؤال هو: إذا كان بإمكاننا استخلاص شيء أعم، دون الخوض في التفاصيل ؟

الإجابة هي” يُمكننا أحيانا “، يتوقف كل ذلك على قيمة معدل النمو r فقد اتضح أنه إذا كان r أصغر من 1، فإن معدل النمو أقل بكثير من أن يُحافظ على بقاء مُجتمع الجوبي، وسيكون مصيره الفناء في النهاية. يتحقق هذا مهما كان حجم المجتمع في البداية. حتى لو بدأنا بالسعة القصوى 100 جوبي (x = 1)، فلن يتبقى أيٌّ منها في النهاية. يمكنك ملاحظة ذلك في الأمثلة أدناه، حيث r = 0.9 . يُظهر الرسم البياني الأول تطور المجتمع إذا كانت قيمة النسبة الأولية x = 0.7 والثاني إذا كانت قيمتها x = 0.4.

تنبؤات نسبة السعة القصوى (المحور الرأسي) لأول 30 شهرًا (المحور الأفقي)، لـ r = 2، والنسبة الأولية x = 0.7 . سيكون مصير هذا المُجتمع الفناء في النهاية.

تنبؤات نسبة السعة القصوى (المحور الرأسي) لأول 30 شهرًا (المحور الأفقي)، لـ r = 2، والنسبة الأولية x = 0.4 . سيكون مصير هذا المُجتمع الفناء في النهاية.

تسير الأمور بشكل أفضل نوعا ما، إذا كان معدل النمو r ما بين 1 و 3. حيث لن يفنَ المُجتمع، ولكن سيستقر حول قيمة محددة في النهاية. يتحقق هذا أيضا مهما كان حجم المجتمع في البداية. يمكنك ملاحظة هذا في المثال أدناه، حيث r = 2 . يُظهر الرسم البياني الأول تطور المجتمع إذا كانت قيمة النسبة الأولية x = 0.4 والثاني إذا كانت قيمتها x = 0.6 (القيمة التي سيستقر عليها المُجتمع هي \frac{(r-1)}{r} في النهاية)

تنبؤات نسبة السعة القصوى (المحور الرأسي) لأول 30 شهرًا (المحور الأفقي)، لـ r = 2، والنسبة الأولية x = 0.4 . تستقر النسبة في النهاية.

تنبؤات نسبة السعة القصوى (المحور الرأسي) لأول 30 شهرًا (المحور الأفقي)، لـ r = 2، والنسبة الأولية x = 0.6 . تستقر النسبة في النهاية.

عندما تتعاظم r إلى 3، فستصبح نسبة السعة القصوى غير مُستقرة حول قيمة واحدة محددة. لكن سلوكها سيظل قابلا للتنبؤ تماما: فبدلا من التركُّز عند حجم محدد، سيتزايد حجم مُجتمع الجوبي ويتناقص بشكل دوري حول عددٍ من القيم المختلفة. يتحقق هذا أيضا مهما كان حجم المجتمع x في البداية (يمكنك معرفة المزيد عن هذا السلوك الدوري مــن هــنــا).

يمكنك ملاحظة هذا في المثال أدناه، حيث r = 3.5 . يُظهر الرسم البياني الأول تطور المجتمع إذا كانت قيمة النسبة الأولية x = 0.6 والثاني إذا كانت قيمتها x = 0.3

تنبؤات نسبة السعة القصوى (المحور الرأسي) لأول 30 شهرًا (المحور الأفقي)، بالنسبة لـ r = 3.5 والنسبة الأولية x = 0.6. في النهاية، يستقر حجم المجتمع في نمط دوري، يتراوح بين أربع قيم مختلفة (تظهر بألوان مختلفة).

تنبؤات نسبة السعة القصوى (المحور الرأسي) لأول 30 شهرًا (المحور الأفقي)، بالنسبة لـ r = 3.5 والنسبة الأولية x = 0.3. في النهاية، يستقر حجم المجتمع في نمط دوري، يتراوح بين أربع قيم مختلفة (تظهر بألوان مختلفة).

إن سلوك مُجتمع الجوبي، حسب تقدير المتتالية اللوجستية، قابل تماما للتنبؤ إلى الآن: فقد استقر في نمط يمكن التنبؤ به، ولم يعتمد هذا النمط على قيمة x الابتدائية. ومع ذلك، فإن كل هذا سينهار بمجرد أن يقترب معدل النمو من قيمة مُعينة، قريبة من 3.56995.

بالنسبة لمعظم قيم r عند قيمة 3.56995 المشئومة أو بعدها؛ قد لا يستقر حجم المُجتمع في نمط قابل للتنبؤ أبدا، لكن الأسوأ: أن تؤدي قيمتان مختلفتان للبداية x إلى تنبؤات متباينة تماما للمستقبل (مهما كانت القيمتان متقاربتان جدا جدا).

يمكنك ملاحظة هذا في المثال أدناه، حيث r = 4 . يُظهر الرسم البياني الأول تطور المجتمع إذا كانت قيمة النسبة الأولية x = 0.6 والثاني إذا كانت قيمتها x = 0.62 . على الرغم من أن القيمتين مُتقاربتان جدا، إلا أن حجم مُجتمع الجوبي يتطور بشكل مُتباين تماما في المستقبل.

تنبؤات نسبة السعة القصوى (المحور الرأسي) لأول 30 شهرًا (المحور الأفقي)، بالنسبة لـ r = 4 والنسبة الأولية x = 0.6.

تنبؤات نسبة السعة القصوى (المحور الرأسي) لأول 30 شهرًا (المحور الأفقي)، بالنسبة لـ r = 4 والنسبة الأولية x = 0.62. على الرغم من أن هذه القيمة قريبة جدًا من نسبة البداية أعلاه والبالغة 0.6، إلا أن حجم مُجتمع الجوبي يتطور بشكل مختلف تماما.

مما سبق، يمكن أن تؤدي قيم البداية المختلفة إلى نتائج متباينة تماما في المستقبل، مما يجعل من إمكانية التنبؤ أمرا صعبا للغاية. بحيث إذا أخطأت في حساب تعداد المُجتمع في البداية (مثلا: لأن سمكة جوبي ما كانت مختبئةً خلف الحوض المائي بحيث لم تلحظها ومن ثَم لم تُضفها إلى قيمة x الابتدائية) فسيكون تنبؤك عديم الفائدة.

تُعرف هذه الظاهرة بالاعتماد الحساس على الظروف الأولية أو تأثير الفراشة. التأثير هو السمة المميزة للفوضى الرياضية (يمكنك الحصول على تعريف رياضي دقيق مــن هــنـا).

لا يَظهر الاعتماد الحساس على الظروف الأولية في المتتالية اللوجستية فحسب، بل في العديد من الصيغ الرياضية الأخرى أيضا، مثل تلك المُستخدمة في التنبؤ بالطقس. وهذا ما يجعل من مسألة التنبؤ بالعديد من أنظمة الحياة في واقعنا المُعاش، أمرا صعبا للغاية. إن ما يجعل المتتالية اللوجستية مميزة؛ أنها تعبير رياضي بسيط نسبيا. أي يمكن للفوضى أن تنتج حتى عندما لا يكون النظام الأساسي معقدا.

أخيرا، ينبغي أن نُشير أنه بالنسبة للمتتالية اللوجستية: لا تؤدي جميع قيم r التي تتجاوز 3.56995 إلى عرض يُظهر الفوضى. حيث تتواجد بعض النطاقات المعزولة لقيم r التي تصبح من أجلها النتائج قابلة للتنبؤ مرة أخرى. تُسمى هذه النطاقات جزر الاستقرار.

يمكنك قراءة ومعرفة المزيد عن الفوضى (الشواش) في مقالات المجلة من هــنــا


المقال الأصلي

Maths in a minute: The logistic map

نُشِر بتاريخ: January 26, 2021

——————

ترجمة: مديحة حوري.

نُشِرت في رياضيات في دقيقة | الوسوم: , , , , | أضف تعليق

رياضيات في دقيقة: زمر دائرية

المقالة حول مفهوم كائنات مجردة تُدعى الزُمر. في حال كنت تجهلها، فما عليك سوى الاطلاع على شرحٍ مختصرٍ لها في مقالة الرياضيات في ثلاث دقائق: الزُمَر.

بعض المقادير مُستديرة. مثل مدار الساعة: إذا بدأنا من الساعة 12 وأضفنا ساعة واحدة فسنحصل على 1، بإضافة ساعة أخرى سنحصل على 2، وهكذا دواليك، إلى أن نعود من حيث بدأنا بعد اثني عشر إضافة.

يمكننا أيضا أن نتصور الأمر وكأنه تدويرٌ لمُجسم ساعة عبر اثني عشر جزءً من الدائرة: تناوبٌ واحد ينتقل من 12 إلى 1، تناوبٌ آخر ينتقل من 1 إلى 2، وهكذا دواليك، إلى أن نعود من حيث بدأنا بعد اثني عشر تناوب.

لدينا مجموعة من اثني عشر مقداراً في الحالتين: إثني عشر رقما، أو إثني عشر مُناوبة (التناوب عبر \frac{1}{12} من الدائرة، \frac{2}{12} من الدائرة، \frac{3}{12} من الدائرة، وهكذا). كما لدينا طريقةٌ لدمج مقدارٍ بآخر للحصول على ثالثٍ: جمع رقمين، أو إتباعُ تناوبٍ بآخر. مع طريقة مُميزة للغاية تُتيح لنا توليد جميع المقادير الأخرى: يمكننا الحصول على أي رقم من الأرقام الإثني عشر من الـ 1 عن طريق تكرار إضافة رقم 1، وبالمثل، فإن تكرار التناوب خلال الإثني عشر جزءً من الدائرة يُعطينا جميع المُتناوبات الأخرى في مجموعتنا.

تعطي الساعة مثالًا جيدًا عن زمرة دائرية

تُدعى زمرة؛ كل مجموعة من العناصر، مزودة بعملية ثنائية تجمع عنصرين لتعطينا عنصرا ثالثا، وفق قواعد معينة. (يمكنك معرفة المزيد عن هذه القواعد من هنا) وإذا اشتملت زمرة على عنصر خاص يمكنه (من خلال التطبيق المتكرر للعملية الثنائية) توليد جميع العناصر الأخرى في الزمرة، فإن الزمرة تدعى زمرة دائرية.

تتواجد زمر دائرية وفق جميع الأحجام. فعلى سبيل المثال، يؤدي التناوب عبر نصف دائرة (180 درجة) إلى توليد زمرة دائرية من الحجم 2: ما عليك إلا القيام بالتناوب مرتين للعودة من حيث بدأت. وبالمثل، فإن التناوب عبر \frac{1}{1,000,000}  من الدائرة يُولِّد زمرة دائرية من الحجم 1,000,000. بشكل عام، فإن التناوب عبر \frac{1}{n} من الدائرة، حيث n هو أيُ عدد صحيح موجب، يولد زمرة دائرية من الرتبة n

هل تتواجد زمرٌ لا نهائية أيضا؟ يمكننا محاولة إنشاء واحدة بأخذ الرقم 1 وبدلا من تصَّوره ليكون جزءً من مدار ساعة مُستديرة، سنتصوره ليكون الرقم 1 على خط الأعداد. وتكرار إضافة الـ 1 للحصول على عدد لا نهائي من الأعداد الصحيحة. إذن هل تُشكِّل الأعداد الصحيحة الموجبة زُمرة لا نهائية تمَّ توليدها بواسطة الـ 1 ؟

الجواب لا. هذا لأن الأعداد الصحيحة الموجبة لا تُشكّل زمرةً من الأساس. فحسب تعريف الزمرة، فإن الزمرة يجب أن تحتوي على عنصر مُحايد، وأن يتوفر لكل عنصر آخر عنصرا مُعاكِسا. بالنسبة للأعداد الصحيحة، العنصر المُحايد هو الـ 0، ومُعاكس كل عنصر آخر هو رقمه السالب. لذا؛ للحصول على زمرة؛ لا بُد من تضمينها – إضافةً إلى الأعداد الصحيحة الموجبة – الـ 0 والأعداد الصحيحة السالبة.

وبالتالي فإن الأعداد الصحيحة هي زُمرةٌ لا نهائية تمَّ توليدها بواسطة الــ 1 (بمساعدة مُعاكسه 1-). بدءً من 1 و (1-) يمكننا الحصول على أي عدد صحيح آخر عن طريق تكرار إضافة الــ 1 أو (1-).

هذا التعريف العام هو التعريف المُعتمد لزمرة دائرية: هي بُنية مُجردة يُمكن إنشاؤها من عنصر مُفرد ومُعاكسه باستخدام عملية ثنائية (مثل الإضافة أو تركيب التناوب). لاحِظ أن في الزمر المحدودة؛ يتطابق التعريفان؛ لأن مُعاكس عنصر التوليد يمكن إنشاؤه من العنصر المُولِّد في حد ذاته. فمثلا؛ بالنسبة للـ 12 رقما في مدار الساعة، فإن العنصر المُحايد هو 12: إذا أضفنا 12 إلى أي رقم في هذه الزمرة فسيظل الرقم دون تغيير. مُعاكس 1 هو 11 لأن 1 + 11 = 12. ونظرًا لأنه يمكننا الحصول على الرقم 1 إلى 11 بتكرار إضافة الـ 1 فهذا يعني أن 1 يُولِّد مُعاكسه وبالتالي فهو كافٍ لإعطائنا الزمرة كاملة.


المقال الأصلي

Maths in a minute: Cyclic groups

نُشِر بتاريخ: February 1, 2021

——————

ترجمة: مديحة حوري.

نُشِرت في رياضيات في دقيقة | الوسوم: , , | أضف تعليق

رياضيات في دقيقة: تمثيل الزمر

المقالة حول مفهوم كائنات مجردة تُدعى الزُمر. في حال كنت تجهل معناها، فما عليك سوى الاطلاع على هذا الشرح المختصر في مقالة الرياضيات في ثلاث دقائق: الزُمَر.

أشرنا في مقالة الزمر السابقة (المُشار إليها أعلاه) إلى مثالين لزمرة. الأول مأخوذٌ من نظام التوقيت ذو تنسيق 12 ساعة. وهنا تتكون الزمرة من الأرقام 1 إلى 12 مع عملية إضافة مودولو 12، أي عند إتمام مدار الساعة مرة واحدة، وعوضا عن الاستمرار في العدِّ 13، 14، 15، الخ، فسنُعيد العدَّ من البداية مرة اخرى، أي 1، 2، 3، الخ.

المثال الثاني مأخوذٌ من مضلع-12 منتظم (شكل في المستوى ذو 12 ضلعا لها نفس الطول، و12 زاوية داخلية بنفس القياس- الصورة على اليمين-). التناوب أو الدوران حول مركز المضلع-12 المنتظم عبر زوايا 1/12 أو 2/12 أو 3/12 من الدائرة، الخ، حتى الدوران عبر دائرة كاملة، يُحافظ على المضلع -12 دون تغيير لذا فهي تماثلات للمضلع -12. تشكل هذه التماثلات التناوبية أيضا زمرة. عملية الجمع بين عنصرين من عناصر الزمرة هنا هي ببساطة اجراء تناوب واحد تلو الاخر.

ليس من الصعب ملاحظة أن المثالين السابقين متشابهين تماما. كلاهما يتكون من اثني عشر عنصرا وبالامكان إقرانُ عنصرٍ واحدٍ من زمرة مع عنصر واحد بالضبط من الزمرة الأخرى والعكس صحيح: الرقم 1 يمكن أن يقترن بــ 1/12، الرقم 2 بــ 2/12، وهكذا.

تُشكل مجموعة تماثلات كائن ما؛ زمرة. مصدر الصورة

هذه التقابلات الفردية بين عناصر الزمرتين تحترم العمليات على الزمر. فمثلا، جمع الرقمين 2 و 5 يعطيك 7 وجمع 2/12 و 5/12 ينتج عنه 7/12. أي أن الزمرتين تميلا الى أن تكونا متساوية الشكل.

قد يُصبح الحديث فوضويا أو مُعقدا نوعا ما؛ عند دراسة الزمر على أنها كائنات مجردة (أي لا ترتبط بمثال معين مثل مدار الساعة أو المضلع-12) لذا سيكون من الجيد الاتفاق على وصفها باستخدام نوع واحد فقط من المقادير الرياضية. ولحسن الحظ فقد اتضح أنه يمكن وصفها جميعها باستخدام المصفوفات.

كمثال على ذلك، اذا وضعت المضلع -12 في نظام إحداثيات يقع مركزه في النقطة (0,0) فيمكن كتابة التناوب في اتجاه عقارب الساعة خلال 1/12 من الدائرة كمصفوفة:

\[ \left( \begin{array}{cc}cos(\pi /6) & sin(\pi /6) \\ -sin(\pi /6) & cos(\pi /6)\end{array} \right), \]

حيث تقاس الزوايا بالراديان. وبالمثل، يمكن كتابة كل عنصر آخر في الزمرة كمصفوفة. يمكن تمثيل الزُمر متساوية الشكل بنفس مجموعة المصفوفات.

تدور نظرية التمثيل حول دراسة الزمر عن طريق تمثيلها كمجموعات من المصفوفات. لا يمنحنا هذا لغة موحدة للحديث عن الزمر فحسب، بل يُسهّل أيضا طريقة فهمنا لها، ذلك أن المصفوفات مقادير يُتقنها علماء الرياضيات جيدا.


المقال الأصلي

Maths in a minute: Representing groups

نُشِر بتاريخ: February 1, 2021

——————

ترجمة: مديحة حوري.

نُشِرت في رياضيات في دقيقة | الوسوم: , , , | أضف تعليق

كلمات الأنشودة الألمانية: أخبرني أين تقف/ Sag mir wo du stehst

تعرفتُ -لأول مرة- على الأنشودة من خلال منشورات أستاذي العزيز على الفايسبوك، استوقفتني أبياتها القصيرة وعباراتها الصارمة، فاخترت أن انشر ترجمة بسيطة لها.

Sag mir wo du stehst

أخبرني أين تقف، أخبرني أين تقف.
أخبرني أين أنت وفي أي طريق تذهب.

للخلف أو للأمَام، عليك أن تتخذ قرارك.
يمضي الوقت شيئا فشيئا.
لا يمكنك البقاء مُستمتعا معنا ومعهم،
لأنك إذا دخلت في دوائر فستبقى في الخلف.

حين تُفصح، قد تتعرى،
أنَّك لم تُفكر قطُّ إلى أين تذهب.
لكن عبر الصمت فقط، تتضاءل عظمة المرء.
أصارحك، ستكون حياتك بلا معنى.

من حقنا التعرف عليك.
أقنعة الإيماء عديمة الفائدة أيضًا.
أريد مُناداتك باسمك الحقيقي
لذلك أرني وجهك الحقيقي.

كلمات: هارتموت كونيغ Hartmut König

نُشِرت في هـنا وهناك/ متفرقات | الوسوم: | أضف تعليق

رياضيات في دقيقة: الأعداد المثلثية

العدد المثلثي؛ هو عددٌ يمكن تمثيله بنمطِ نقاطٍ مرتبةٍ ضمن مثلث متساوي الأضلاع؛ وفق عدد متساوٍ من النقاط في كل ضلع.

مثال:

العدد المثلثي الأول هو الــ 1، الثاني 3، الثالث 6، الرابع 10، والخامس 15، وهكذا دواليك…

يمكننا ملاحظة أنَّ باستطاعتنا إنشاء كل مثلث من المثلث السابق له مع إضافة صفٍ من النقاط إلى القاعدة؛ التي اُضيف لها نقطة واحدة مقارنة بالقاعدة التي تسبقها. مما يعني أن n العدد المثلثي T_{n} يساوي:

T_{n} = 1+2+3+...+n

هناك أيضًا طريقة أخرى لحساب n العدد المثلثي. خُـذ نسختين من النمط النقطي لعدد مثلثي n ورتِّبهما بحيث يشكلان نمطا نقطيا مستطيلا.

لهذا النمط المستطيل n نقطة في الضلع الأقصر، و n+1 في الضلع الأطول. مما يعني أن للنمط المستطيل ما مجموعُه n(n+1) نقطة. وبما أن النمط النقطي المثلثي الأصلي يمثل بالضبط نصف النمط المستطيل، فإن n العدد المثلثي T_{n} يساوي:

T_{n}=\frac{n(n+1)}{2}

وبهذا فقد أثبتنا صيغة جمع n من الأعداد الطبيعية، كالآتي:

1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}

للأعداد المثلثية الكثير من المزايا. فمثلا، مجموع عددين مثلثيين متتاليين هو عدد مُربع. يمكنك التحقق من هذا بترتيب نمطين نقطيين لعددين مثلثيين n و (n+1) لتشكيل مربع له (n+1) نقطة في كل ضلع:

يمكنك التحقق من هذا أيضا باستخدام  صيغتي عددين مثلثيين متتاليين T_{n} و T_{n+1} كالآتي:

T_{n}+T_{n+1}=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n+1)(n+2)}{2}=\frac{(n+1)(2n+2)}{2}=(n+1)^{2}

علاوة على ذلك، فإن الأعداد المثلثية المتناوبة (1، 6، 15، …) هي أعداد مُسدسية أيضًا (أعداد مكونة من نمط نقطي سداسي) وكل عدد مثالي زوجي هو عدد مثلثي.

تظهر الأعداد المثلثية في حياتنا اليومية أيضًا. فمثلا، يتطلب إنشاء شبكة مكونة من n من أجهزة الكمبيوتر التي يتم فيها توصيل كل جهاز كمبيوتر بآخر ما مقداره T_{n-1} من التوصيلات.


المقال الأصلي

Maths in a minute: Triangular numbers

نُشِر بتاريخ: November 24, 2020

——————

ترجمة: مديحة حوري.

نُشِرت في رياضيات في دقيقة | الوسوم: , , | أضف تعليق

مختصر تحليل بيانات كوفيد-19 في الجزائر ومقارنة: الجزائر والبلدان العربية

تُعد جائحة كوفيد-19 في الجزائر جزءًا من الجائحة العالمية لمرض فيروس كورونا 2019 (COVID-19). وقد حاولت في هذا المشروع [التقرير التقني]؛ استخدام معظم ما تعلمته طوال 6 أسابيع في هذه الدورة العملية؛ تحليل البيانات بالبايثون: من الصفر إلى باندا؛ لتحليل بيانات كوفيد-19 في بلدي الجزائر ومقارنته بالبلدان العربية؛ للخروج بنتائج قد تكون مفيدة يوما ما.

المشروع الأصلي كاملا على منصة Jovian (مــن هــنــا) وعلى منصة GitHub (مــن هــنــا).

====================

المشروع عبارة عن تحليل بيانات كوفيد-19 في الجزائر ومقارنة؛ حالات الإصابة والوفيات المؤكدة؛ إحصائيات يومية وشهرية من جانفي إلى سبتمبر 2020؛ في الجزائر وولاياتها ثم مقارنتها بالبلدان العربية؛ وقد استخدمت في ذلك مكتبات numpy, pandas, matplotlib, seaborn ومُختصره ما يلي:

بالنظر إلى إطار البيانات أعلاه نلاحظ: أن الملف يوفر احصائيات يومية لـكوفيد-19 في الجزائر، ضمن ثلاث أعمدة هي التاريخ، حالات [الإصابة] الجديدة، والوفيات الجديدة. وذلك لمدة 275 يومًا: من 31 ديسمبر 2019 إلى 30 سبتمبر 2020.

تاريخ ظهور أول حالة إصابة مؤكدة بكوفيد-19 كان في 26 فيفري 2020. (وكانت لأجنبي وافد إلى الجزائر من إيطاليا).

تاريخ أول حالة وفاة بسبب كوفيد-19 كان في 13 مارس 2020.

التواريخ  الـ 10 الأولى التي سُجّل فيها أعلى عدد من حالات الإصابة المؤكدة، كانت في شهر جويلية. وكان 25 جويلية 2020 هو اليوم الذي سُجلت فيه أعلى قيمة (675) لعدد حالات الإصابة الجديدة على الإطلاق.

التواريخ الـ 10 الأولى التي سُجّل فيها أعلى عدد من الوفيات، كانت في شهر أفريل وكان 04 أفريل 2020 هو اليوم الذي سُجّلت فيه أعلى قيمة (42) لعدد الوفيات الجديدة على الإطلاق.

إلى غاية 30 سبتمبر 2020. بلغ العدد الإجمالي في الجزائر، لحالات الإصابة المؤكدة 51368 أي بنسبة 96.7% وعدد الوفيات 1726 أي بنسبة 03.3%.

– حالات الإصابة المؤكدة الجديدة اليومية في الجزائر. إلى غاية 30 سبتمبر 2020.

كان عدد حالات الإصابة منخفضًا، ثم ارتفع تدريجيًا، ثم انخفض قليلاً، ثم ارتفع فجأة ليصل إلى الحد الأقصى، ثم انخفض تدريجياً. وقد شهد موجتين من الانتشار: الأولى كانت فيها سرعة الانتشار متوسطة والثانية كانت فيها سرعة الانتشار سريعة جدا. تقع معظم حالات الإصابة الجديدة ضمن نطاق أقل من 200 حالة إصابة في اليوم.

– حالات الوفيات الجديدة اليومية في الجزائر. إلى غاية 30 سبتمبر 2020.

كان عدد الوفيات منخفضًا، ثم ارتفع فجأة إلى الحد الأقصى، ثم بدأ في الانخفاض تدريجيًا، ثم بدأ يتذبذب في نطاق أقل من 15. تقع معظم الوفيات الجديدة ضمن نطاق أقل من 15 حالة وفاة في اليوم.

بالمقارنة بين حالات الإصابة الجديدة والوفيات الجديدة نلاحظ أن عدد الوفيات ضئيل جدا مقارنة بالعدد الكبير جدا للحالات وهو مؤشر جيد يؤكد تماثل معظم المصابين للشفاء.

– حالات الإصابة الجديدة شهريا في الجزائر. إلى غاية 30 سبتمبر 2020.

نلاحظ أن معظم حالات الإصابة في فصل الصيف: جويلية – أوت.

– حالات الوفيات الجديدة شهريا في الجزائر. إلى غاية 30 سبتمبر 2020.

نلاحظ أن معظم حالات الوفيات في فصل الصيف: من أفريل إلى أوت.

– مقارنة بين الإصابات والوفيات الجديدة، شهريا في الجزائر. إلى غاية 30 سبتمبر 2020.

مما نلاحظه أن شهر جويلية سجّل أعلى عدد إصابات: 12823 وأعلى عدد وفيات: 257.

– مجموع حالات الإصابة المؤكدة حسب الولايات في الجزائر. إلى غاية 02 أكتوبر 2020.

الولايات الـ 10 الأولى حسب مجموع حالات الإصابة المؤكدة. إلى غاية 02 أكتوبر 2020.

– مجموع الوفيات حسب الولايات في الجزائر. إلى غاية 02 أكتوبر 2020.

الولايات الـ 10 الأولى حسب مجموع الوفيات. إلى غاية 02 أكتوبر 2020.

مما نلاحظه أن كوفيد-19 قد انتشر عبر كافة ولايات الجزائر.

– إجمالي حالات الإصابة المؤكدة في البلدان العربية. إلى غاية 18 سبتمبر 2020.

– إجمالي الوفيات في البلدان العربية. إلى غاية 18 سبتمبر 2020.

مما نلاحظه أن كوفيد-19 قد انتشر عبر كافة البلدان العربية، لكن بنسب متفاوتة جدا.

====================

المصادر

نُشِرت في آل خوارزمـيـات | الوسوم: , , , , , , | أضف تعليق

رياضيات في دقيقة: متتاليات ن_ فيبوناتشي

متتالية فيبوناتشي نسبة إلى عالم الرياضيات ليوناردو فيبوناتشي

متتالية فيبوناتشي، هي متتالية تبدأ بالعددين 0 و 1 ويساوي فيها الحدُّ مجموع الحدّين السابقين له إلى المالانهاية:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,…

 متتالية 3_ فيبوناتشي مختلفة نوعا ما. تبدأ بالأعداد 0 و 0 ثم 1، ويساوي فيها الحدّ مجموع الحدود الثلاثة السابقة له إلى المالانهاية:

0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274,…

 متتالية 4_ فيبوناتشي تبدأ بالأعداد 0 و 0 و 0 ثم 1، ويساوي فيها الحدّ مجموع الحدود الأربعة السابقة له إلى المالانهاية:

0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208,…

 يمكنك ملاحظة كيفية تعميم ذلك بشكل أوسع: تبدأ متتالية ن_ فيبوناتشي بـ (ن – 1) أصفار متبوعة بـ 1، ويساوي فيها الحدّ مجموع الحدود “ن” السابقة له.

تُطابق متتالية فيبوناتشي التقليدية متتالية 2_ فيبوناتشي. وتتكون متتالية 1_ فيبوناتشي بالكامل من العدد 1: … ,1 ,1 ,1 ,1

ثوابت ن_ فيبوناتشي

لمتتالية فيبوناتشي خاصية مميزة، إذا ما قسَّمنا كل حدٍّ على الحدِّ الذي يسبقه، فسنحصل على متتالية من النسب:

\frac{1}{1}, \frac{2}{1}, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}, \frac{8}{5}, \frac{13}{8}, \frac{21}{13}, \frac{34}{21}, \frac{55}{34}, \frac{89}{55}, \frac{144}{89},...

(هذا بتجاهل النسبة بين الحدّين الأوليين لأن القسمة على 0 غير معرفة). تتقارب متتالية النسب هذه من قيمة حدّية، هي النسبة الذهبية الشهيرة:

\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1.61803398875...

يمكنك قراءة المزيد عن من هـــنا.

هل لمتتاليات ن_ فيبوناتشي خاصية مماثلة لهذه؟ الإجابة “نعم”، وتدعى الحدود الموافقة لها ثوابت ن_ فيبوناتشي. وفيما يلي ثوابت ن_ فيبوناتشي الخمسة الأولى:

ثابت ن_ فيبوناتشي

ن

1

1

…1.61803

2

…1.83928

3

…1.92756

4

…1.96595

5

في الواقع، من الممكن توضيح أنَّه لأي عدد طبيعي “ن” فإن ثابت ن_ فيبوناتشي الموافق له هو حل المعادلة:

     (1)                                    \ x + \frac{1}{x^ N}=2

للمعادلة دائما حل واحد أكبر من 1. وهو ثابت ن_ فيبوناتشي الموافق.

متتالية فيبوناتشي اللانهائية

يمكننا الحديث حتى عن متتالية فيبوناتشي اللانهائية، حيث “ن” تساوي المالانهاية. وتبدأ بعدد لانهائي من الأصفار، متبوعاً بـ 1. الحدُّ اللاحق هو مجموع العدد اللانهائي من الأصفار الابتدائية و 1، مما يعطينا 1. الحدود اللاحقة كالآتي:

(مجموع العدد اللانهائي من الأصفار الابتدائية) +1 + 1 = 0 + 1 + 1 = 2

(مجموع العدد اللانهائي من الأصفار الابتدائية) +1 + 1 + 2 = 0 + 1 + 1 + 2 = 4

(مجموع العدد اللانهائي من الأصفار الابتدائية) +1 + 1 + 2  + 4 = 0 + 1 + 1 + 2  + 4 = 8

 بالاستمرار على هذا النحو سنلاحظ أن متتالية فيبوناتشي اللانهائية هي المتتالية التي تبدأ بعدد لانهائي من الأصفار متبوعاً بقوى العدد 2.

ماذا عن متتالية النِسَب (نِسب الحدود المتعاقبة) لفيبوناتشي اللانهائية؟ هل لها قيمة حدّية أيضا؟ نظرا لأن القسمة على 0 غير مُعرفة، فسنتخطى العدد اللانهائي من الأصفار في البداية وننظر إلى النِسب بين الحدود المتعاقبة للمتتالية، سنلاحظ أن الحدود المتعاقبة هي دائما من الشكل 2^{k-1} و 2^{k}  لعدد طبيعي k ومنه فإن قسمة حدٍّ ما على الذي قبله تعطينا \frac{2^{k}}{2^{k-1}} = 2 مهما يكن k وبالتالي فإن متتالية نِسب الحدود المتعاقبة (بدءًا، بعد الأصفار الابتدائية) تتكون بالكامل من العدد 2، مما يعني أن قيمتها الحدّية، أو ما قد يُدعى ثابت فيبوناتشي اللانهائي، يساوي 2.

يتوافق هذا مع المعادلة (1) أعلاه. لنفترض أنَّ N في هذه المعادلة تؤول إلى مالانهاية. ومن ثم، فطالما x > 1  (وهو ما يمكننا افتراضه بما أننا ندرس حلولا أكبر من 1)، فإن الحدَّ \ \frac{1}{x^ N} في المعادلة يؤول إلى 0. مما يعني أن حل المعادلة الأكبر من 1 يؤول إلى 2.

أخيرا، فإن من المثير للاهتمام أن تعلم أن فيبوناتشي قد توصل إلى المتتالية أثناء تفكيره في مجتمع افتراضي من الأرانب (يمكنك معرفة المزيد من هـــــنـا). وقد تم اقترح أن لمتتالية 3_ فيبوناتشي صلة بعالم الحيوان، حسب ما جاء في كتاب تشارلز داروينأصل الأنواع “.


المقال الأصلي

Maths in a minute: N-bonacci sequences

نُشِر بتاريخ: September 14, 2020

——————

ترجمة: مديحة حوري.

نُشِرت في رياضيات في دقيقة | الوسوم: , , , , , | أضف تعليق

سلسلة الرياضيات في دقيقة، الجزء الثاني.pdf

 

سلسلة دورية على مجلة Plus+ التابعة لجامعة كامبريدج

ترجمة: مديحة حوري

 2020

عدد المقالات: 45  | عدد الصفحات: 130

——————————————————————

رابط التحميل: اضــغــط هـــنــا

——————————————————————

الكتاب مُتاح للجميع للتحميل، النشر، المشاركة والتقييم.

خالص تحياتي

نُشِرت في مختارات رياضيات مترجمة, رياضيات في دقيقة | الوسوم: , , , , , , | أضف تعليق

رياضيات في ثلاث دقائق: إسقاط الخرائط

هل هناك العديد من الطرق لإسقاط الأرض المستديرة على خريطة مُسطحة !؟

إنَّ أول ما يتبادر إلى الذهن عند التفكير في الأرض من الناحية الجغرافية “إسقاط مركاتور” الذي ابتكره العالم الجغرافي ورسام الخرائط الفلمنكي جيراردوس مركاتور خلال القرن 16.

إسقاط مركاتور. صورة: Daniel R. Strebe, CC BY-SA 3.0

تكمن الفكرة الأساسية لهذا الإسقاط في إحاطة الكرة الأرضية (أو أفضل مُجسم لها) باسطوانة، بحيث يتم التلامس بين الكرة الأرضية والاسطوانة عند خط الاستواء. ومن ثَم إسقاط كافة سمات ونقاط الأرض عليها، عن طريق اختيار نقطة ما x ورسم الخط الذي يربطها بمركز الكرة، ثم تمديد هذا الخط إلى أن يقطع الأسطوانة عند نقطة ما y (النقطة y هي مسقط النقطة x). باستخدام هذه التقنية يمكننا تتبع مخطط القارات والبلدان على الأسطوانة بعد فتحها وبسطها لتشكل خريطة مستطيلة مُسطحة.

إسقاط أسطواني. تخيل وجود مصباح كهربائي في مركز الأرض. ستُـلقي القارات والجزر بظلالها على الأسطوانة، بحيث يمكن بعد ذلك فتحها وبسطها لتشكل ورقة مُسطحة. الصورة من NOAA

ومع ذلك، فإن مشكلة تنشأ كلما اقتربنا من القطبين، حيث تُصبح الإسقاطات أعلى وأعلى الأسطونة كلما اقتربنا من القطب الشمالي وتتباعد أسفل الأسطوانة كلما اقتربنا من القطب الجنوبي. أي أن إسقاط الكرة الأرضية بأكملها يتطلب أسطوانة تمتد إلى المالانهاية مع عدم ظهور القطبان في حد ذاتهما نهائيا: فالخط الذي يربطهما بمركز الكرة الأرضية موازٍ لجوانب الأسطوانة وبالتالي لن يقطعها أبدا.

يُشير هذا الرسم البياني إلى أنَّ إسقاط النقاط القريبة من القطب الشمالي (النقطتان على اليمين، مثلا) أعلى بكثير من النقاط القريبة من خط الاستواء (النقطتان على اليسار، مثلا). ويشير أيضًا إلى التشوه الذي يحدث كلما اقتربنا من القطبين

يُعد إسقاط مركاتور أحد أشكال هذا الإسقاط الأسطواني، بحيث يضمن تمثيل الزوايا بأمانة على الخريطة (راجع هذا الرابط لمزيد من التفاصيل حول رياضيات الإسقاط). ومع ذلك فإنَّ مشكلة القطبين تظل سارية، ولهذا السبب لا يتضمن إسقاط مركاتور القطبين والمجال المُحيط بهما.

نكمن الميزة العظيمة لإسقاط مركاتور أنّ تحديد اتجاه البوصلة يتوافق مع الخطوط المستقيمة على الخريطة. ما يعني أنَّك في حال أردت الإبحار من A إلى B فالأمر لا يتطلب سوى رسم خط مستقيم بينهما على الخريطة. حيث تُطلعك الزاوية التي يصنعها الخط مع خط الاستواء (أو أي خط من خطوط العرض) باتجاهك شمالا أو جنوبا وتُطلعك علاقتها بخط غرينتش باتجاهك شرقا أو غربا. ومن ثَمَّ تختار وِجهتك بناءًا على هذه المُعطيات مع الاستعانة بالبوصلة كمُرشد دائم إلى حين بلوغ وِجهتك بأمان.

تشوية غير عادل

إنَّ من عيوب إسقاط مركاتور أنه كنتيجة مباشرة لتقنية الإسقاط الأسطواني، فإن المسافات القريبة من القطبين تبدو مُمتدة، مما يجعل الأماكن القريبة من القطبين تبدو أكبر بكثير مما هي عليه في الواقع. إذ وفقًا للإسقاط القياسي، فإنَّ غرينلاند تبدو أكبر بكثير من إفريقيا، في حين أن إفريقيا في الحقيقة أكبر بأكثر من 14 مرة من غرينلاند !! إنَّ لهذا الأمر عواقب وخيمة على المستوى السياسي، حيث تقع أوروبا وأمريكا الشمالية على مسافة مُعتبرةٍ شمال خط الاستواء مُستفيدةً بذلك من التشويه، فتبدو المساحات هائلة في الشمال مقابل كون مساحة المناطق الاستوائية والمدارية أقل من حجمها الحقيقي بكثير، أي إضافة تمييزٍ خرائطي إلى التمييز العنصري والثقافي والاقتصادي.

عموما، لا يخلو أيُّ إسقاط للكرة الأرضية على خريطة ثنائية الأبعاد من عيبٍ (لن يكون دقيقًا بنسبة 100٪)  لذلك فإنَّ الطريقة الوحيدة لتمثيل سطح الكرة الأرضية على ورقة مُسطحة تكمن في إحداث تشويه ما. يمكنك التأكُّد من ذلك بنفسك عن طريق تقشير برتقالة والحرص على الحفاظ على قشرتها ضمن قطعة واحدة. إنه وبمجرد التخلص من القشرة، فإنها ستحافظ تلقائيا على شكلها المستدير. يحيث ستؤدي أيُّ محاولة لتسطيح القشرة إلى قطعها أو تشويهها.

مثال آخر على التشويه (الذي لا مناص منه) يأتينا من الإسقاط المُجسم: تخيل التماسَّ بين ورقة مُسطحة والقطب الشمالي بحيث تكون الورقة في وضعٍ شاقولي على المحور الشمالي-الجنوبي للكرة الأرضية.

إسقاط مُجسم لكرة على مستوى ثنائي الأبعاد.

يمكنك الآن رسم خطوط مستقيمة مُمتدة من القطب الجنوبي عبر أي نقطة x على الأرض، وبالتالي فإنَّ مسقط النقطة x هو النقطة y موضع تقاطع الخط المستقيم بالورقة المُسطحة. يحافظ نموذج الإسقاط هذا على الزوايا، ويُعد رائعًا لاستكشاف القطب الشمالي، لكنه يصبح مشوَّهًا أكثر فأكثر كلما اقتربنا من القطب الجنوبي. (يمكنك أيضًا جعل الورقة تلامس الكرة الأرضية في أي نقطة أخرى للحصول على خريطة المنطقة المحيطة بتلك النقطة.)

إسقاط مُجسم. صورة: Strebe, CC BY-SA 3.0

هناك أيضًا إسقاطات أخرى تحاول تقليل التشويه. من بينها إسقاط وينكل الثلاثي. وهو متوسط الاحداثيات لإسقاطين آخرين، إسقاط أيتوف والإسقاط متساوي المستطيلات، بهدف تقليل التشوه في المسافة والاتجاه والمساحة.

إسقاط وينكل الثلاثي. صورة: Strebe, CC BY-SA 3.0

من الإسقاطات الأخرى المعروفة أيضا، والتي تُستخدم غالبًا على النقيض من إسقاط مركاتور، إسقاط غال-بيترز، الذي يمثل الحجم النسبي للمناطق بأمانة (ستندهش من مدى ضآلة مساحة أوروبا حقًا) لكنه يُشوه الأشكال بشكل كبير. إذ بالقرب من خط الاستواء، تُضغَط الأشكال أفقيًا وتمتد عموديًا، وبحدث العكس بالقرب من القطبين. فتبدو القارات التي يجتازها خط الاستواء طويلة ونحيفة، وهذا هو سبب تشبيه هذا الإسقاط بحبل غسيلٍ تم تعليق البلدان عليه لتجف.

إسقاط غال-بيترز. صورة:  Strebe, CC BY-SA 3.0

بالعودة إلى إسقاط مركاتور الذي بدأنا به، فإن من المُمتع إحاطة الكرة الأرضية باسطوانة لكن بطريقة مختلفة هذه المرة، أي تدوير الأسطوانة بمقدار 90 درجة، مثلا.

يُمكِّنك ذلك من الحصول على إسقاط مركاتور المستعرض، الذي يتضمن كِلا القطبين ويجعل العالم يبدو مختلفًا تمامًا عما اعتدنا عليه.

إسقاط مركاتور المستعرض

كانت هذه مجرد جولة بسيطة وقصيرة جدا في عالم إسقاط الخرائط الرائع. الذي يتطلب منا استكشافًا أعمق. في حال كان لديك إسقاط مفضل ترغب مشاركته، فما عليك إلا مُراسلة المجلة على البريد الإلكتروني plus@maths.cam.ac.uk


المقال الأصلي

Maths in three minutes: Map projections

نُشِر بتاريخ: August 11, 2020

——————

ترجمة: مديحة حوري.

نُشِرت في رياضيات في دقيقة | الوسوم: , , , , , , , | أضف تعليق

القليل من المُتعة مع الأعداد الأولية بالبايثون

 

لُعبة بسيطة مُقتبسةٌ من كتاب أتمتة الأشياء المٌملة بالبايثون مع القليل من التحديثات البرمجية.

في كل مرة، سيختار البرنامج عددا أوليا ما بين 1 و100 بشكل عشوائي.
على اللاعب العثور على ذلك العدد في ظرف 5 محاولات فقط.
الهدف هو التسلية وحفظ الأعداد الأولية الأقل من 100 بطريقة مُمتعة.

رابط اللعبة  مــن هــنــا  وحظ موفق للجميع.

نُشِرت في آل خوارزمـيـات | الوسوم: , , , | أضف تعليق