الأعداد الحقيقية ومتتاليات كوشي.

ما هي الأعداد الحقيقية؟

ربما الاجابة الأكثر بديهية هي أنها جميع النقاط التي يمكنك أن تجدها على خط الأعداد. الأعداد الصحيحة، وهي أعداد حقيقية، تُشكل مجموعة من النقاط المتباعدة بشكل متساوٍ على طول الخط. يمكن ايجاد أعداد أخرى، مثل $1.4$ و $0.33$ بينها وعلى مسافات مناسبة.

تلك الأعداد التي لها امتداد عشري محدود (مثل $1.4=7/5$ ) أو امتداد عشري غير محدود ينتهي إلى قيم تتكرر بشكل دوري (مثل $0.333....=1/3$ )، تدعى الأعداد النسبية، ويمكن كتابتها جمعيها على شكل كسور. لكن هناك أيضا الأعداد غير النسبية، مثل $\pi =3.141592...$ و $\sqrt {2} = 1.414213...$ ، والتي لها امتدادات عشرية غير محدودة لا تنته إلى قيم تتكرر بشكل دوري ولا يمكن كتابتها على شكل كسور.

هذا يجعل الأعداد غير النسبية هشة إلى حد ما. لأن عقولنا وأدوات قياسنا محدودة، لايجاد عدد غير نسبي على خط الأعداد، علينا العمل على التقريب. على سبيل المثال، عند العمل على قيمة $\pi$ ، وبالاعتماد على مستوى الدقة المطلوب (والممكن)، قد نستخذم التقريب $3$ ، أو $3.1$ أو $3.14$ ، أو $3.141$ ، الخ. كلما زادت القيم العشرية التي قمت بتضمينها، كلما كانت التقريب أفضل.

الأعداد في هذه المتتالية التقريبية لها امتدادات عشرية محدودة، وبالتالي هي أعداد نسبية. لجميع الأغراض العملية، يمنحنا الامتداد العشري غير المحدود للعدد $\pi$ متتالية من الأعداد النسبية التي تعطي قيما تقريبية أفضل وأفضل لقيمة $\pi$ . تتقارب المتتالية نحو $\pi$ في حدها. يمكن قول الشئ نفسه عن أي عدد غير نسبي وامتداده العشري.

وهكذا، فإن مفهوم الامتدادت العشرية ضمنيا هو طريقة أخرى للنظر إلى الأعداد الحقيقية: بدلا من تمثيلها بامتداداتها العشرية، فإننا نمثلها بمتتاليات من الأعداد النسبية التي تتقارب نحوها. وبالتالي، التخلص من الامتدادات العشرية تماما والتحول نحو المتتاليات التقريبية للعدد $\pi$ .

$3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, 3.141592,...$

وإلى كسور. يمكننا التفكير في $\pi$ كما هو موضح بالمتتالية

$3, \frac{31}{10}, \frac{314}{100}, \frac{3141}{1000}, \frac{31415}{10000}, \frac{314159}{100000}, \frac{3141592}{1000000}...$

هذا يصلح للأعداد النسبية (الكسور والأعداد الصحيحة) أيضا، على سبيل المثال، المتتالية

$1,1,1,1,1,1,....$

تتقارب نحو $1$ وهو أمر مضحك نوعا ما… !!

متتاليات كوشي.

تدعى متتاليات كوشي نسبة إلى عالم الرياضيات الفرنسي أوغستين لويس كوشي (1789-1857)

لكن، ليس كل تسلسل للأعداد النسبية يحدد عددا حقيقيا، على سبيل المثال، المتتالية

$1,2,3,4,5,6,....$

تؤول إلى المالانهاية ولا تحدد أي عدد حقيقي. هذا هو السبب، في طريقة التفكير الجديدة هذه حول الأعداد الحقيقية، نأخذ بعين الاعتبار فقط تلك المتتاليات التي تتقارب مفرداتها عشوائيا معا كلما آلت المتتالية إلى قيم أكبر وأكبر. على وجه الدقة، إذا قمت باعطاء أي عدد $\epsilon >0$ قيمة صغيرة بالقدر الذي تشاء، فستكون متأكدا أن باستطاعتك إذا قمت بالانتقال بما فيه الكفاية على طول المتتالية، أن جميع المفردات التي تتبعها هي ضمن $\epsilon$ مع بعضها بعضا.

————————————-

أي أن متتالية $a_{1},a_{2},a_{2},...$ من الأعداد الحقيقية تدعى متتالية كوشي، إذا كان لكل عدد حقيقي موجب $\epsilon$ يوجد عدد صحيح موجب $N$ بحيث لكل الأعداد الطبيعية $m, n > N$

$|a_{m}-a_{n}|<\varepsilon$

————————————-

هذا النوع من المتتاليات يسمى متتاليات كوشي. إنها واقع أن كل متتالية كوشية تتقارب نحو عدد حقيقي كحد لها. ما يعني أن كل متتالية كوشية تحدد عددا حقيقيا (حدها). على العكس من ذلك، كل عدد حقيقي يتوافق مع متتالية كوشية من الأعداد النسبية التي تمثل الحد (على سبيل المثال، المتتالية التي نحصل عليها من الامتداد العشري لعدد ما، مثل $\pi$ في المثال أعلاه، هي دائما متتالية كوشية). ومنه فإن التفكير في الأعداد الحقيقية بمفردات المتتاليات الكوشية أمر منطقي بالفعل.

لماذا نريد فعل هذا؟

هذا سؤال مشروع. من الميزات أن المتتاليات الكوشية تتكون فقط من المقادير الجميلة والودية التي نفهمها، نعني الأعداد النسبية. ربما يكون من الأسهل تصور متتالية من الأعداد النسبية تتلاحم أقرب وأقرب وتحدد عددا مثل $\pi$ في حدها، من تجرع الامتداد العشري اللامحدود $3.141592...$ كاملا.

ميزة أخرى للتفكير في الأعداد الحقيقية بمفردات المتتاليات الكوشية تصبح ظاهرة عند جمع أو ضرب عددين حقيقيين. تصور، على سبيل المثال، تريد جمع $\pi =3.141592...$ و $\sqrt{2} = 1.414213...$ . لا يمكنك أن تفترض ققط أن $nth$ رقم في الامتداد العشري في $\pi + \sqrt {2}$ هو مجموع $nth$ رقم في الامتداد العشري في $\pi$ و $nth$ رقم في الامتداد العشري في $\sqrt {2}$ . وذلك بسبب عملية النقل المزعجة. على سبيل المثال، الرقم الرابع بعد النقطة العشرية في الامتداد العشري $\pi + \sqrt {2}$ ليس $5+2=7$ ، لكن $8$ لأنه قد تم نقل $1$ من اليمين. بشكل عام، يمكن للنقل أن يتحرك مُتمَوجا عبر سلسلة ضخمة من الأرقام من اليمين إلى اليسار.

لا تتضمن متتاليات كوشي هذه المشكلة. إذا قمت بجمع (أو ضرب) مفردات $nth$ في متتالية كوشي للعدد $\pi$ ومفردات $nth$ في متتالية كوشي للعدد $\sqrt {2}$ ستحصل على $nth$ مفردة في متالية كوشي لقيمة $\pi + \sqrt {2}$ (أو $\sqrt {2} \pi$ ). لا عمليات نقل مطلوبة على الاطلاق. هذا قد يجعل الحسابات والحجج النظرية أسهل.

عقبة؟

مع كل هذه الدعاية لمتتالية كوشي، هناك حقيقة واحدة قمنا بقمعها حتى الآن وهي أن العدد الحقيقي يتوافق مع العديد من المتتاليات الكوشية التي تتقارب نحوه. على سبيل المثال، المتتاليتين

$1,1,1,1,1,1,...$

$1/2, 2/3, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8,...$

كلاهما يتقارب نحو $1$

هذا أمر مزعج، لكن ليس من المستحيل التعامل معه. فنيا، صَرّح علماء الرياضيات عن كل متتاليات كوشي التي تتقارب نحو نفس الحد “المتشابهة” (هذا يؤدي إلى ما يسمى علاقة التكافؤ) ومن ثم حددوا عددا حقيقيا كفئة مكافئة لمتتاليات كوشي. قد تكون المقاربة غير عملية جزئيا. لكن بعد ذلك، يتعامل علماء الرياضيات مع مقادير غير عملية طوال الوقت.

يمكن تحديد الأعداد الحقيقية باستخدام متتاليات كوشي، من دون الاشارة إلى الامتدادات العشرية أو أي فهم مسبق آخر لها. ومن ثم تشكل الأعداد الحقيقية تتمة للأعداد النسبية. وهي ما تحصل عليه عند جمع عدد جديد لكل متتالية كوشية من الأعداد النسبية التي تتقارب إلى حد لا يٌعَد في حد ذاته عددا نسبيا.

المقال الأصلي بتصرف: The real numbers and Cauchy sequences

ترجمة: مديحة حوري.

math.nights@gmail.com

الأعداد الحقيقية ومتتاليات كوشي.

أضف تعليق إلغاء الرد

التصنيفات

تابع المدونة بالبريد الإلكتروني

الرخصة

الأعداد الحقيقية ومتتاليات كوشي.

شارك هذا الموضوع:

مرتبط

أضف تعليق إلغاء الرد

التصنيفات

تابع المدونة بالبريد الإلكتروني

الرخصة